Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
5. Условия сходимости ряда Фурье
Существует довольно много достаточных признаков сходимости ряда Фурье .
На практике,обычно, применяются два :
а ) Теорема 1. Если
)
(
x
f
является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на
]
[
ll ,
−
то ее ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка, причем для суммы
)
(
x
S
этого ряда выполняются равенства :
1).
l
x
f
x
S
−
=
),
(
)
(
<X>
l
и Х точка непрерывности
),
(
x
f
2).
lесли
xfxf
xS −
−
+
+
= ,
2
)0()0(
)(
< Х >
l
и Х - точка разрыва первого рода,
3). )10.1(
2
)0()0(
)()(
−
+
+
−
==−
lflf
lSlS
б) Теорема 2. (Условия Дирихле).
Если
)
(
x
f
кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на
]
[
ll ,
−
, тогда ее ряд
Фурье сходится в каждой точке
X
Є
]
[
ll ,
−
(с учетом (1.10)).
Примеры задач с решениями
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на сегменте
]
[
π
π
,
−
уравнением
.
)
(
X
x
f
+
=
π
Решение. Графиком этой функции является отрезок , соединяющий
точки
)
(
)
(
π
π
π
2;0; и
−
.На рисунке 4 показан график функции
−
=
)
(
),
(
x
S
где
x
S
у
сумма ряда Фурье функции
).
(
x
f
Эта cумма является периодической функцией с периодом
π
2
и совпадает с
функцией
)
(
x
f
на сегменте
]
[
.,
π
π
−
Определяем коэффициенты ряда Фурье . Сначала находим
∫∫∫∫
−−−−
+=+==
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
XdxdxdxXdxxfa
1
)(
1
)(
1
0
                                          6



5. Условия сходимости ряда Фурье

    Существует довольно много достаточных признаков сходимости ряда Фурье.
На практике,обычно, применяются два:
а) Теорема 1. Если f (x) является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на
[−l, l ] то ее ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка, причем для суммы
S (x) этого ряда выполняются равенства:

1). S ( x) = f ( x), если −l  l и Х точка непрерывности f (x),
              f ( x +0) + f ( x −0)
2). S ( x) =                        , если −l <Х> l и Х - точка разрыва первого рода,
                        2
                      f ( −l +0) + f (l −0)
3). S (−l ) =S (l ) =                          (1.10)
                                 2


б) Теорема 2. (Условия Дирихле).
     Если f (x) кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на [−l, l ], тогда ее ряд
Фурье сходится в каждой точке X Є [−l, l ] (с учетом(1.10)).

                     Примеры задач с решениями

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на сегменте [−π,π ]
уравнением
            f ( x) =π +X .
Решение.          Графиком этой функции является отрезок, соединяющий
точки (−π ; 0 ) и (π ; 2π ).На рисунке  4   показан  график    функции
у =S ( x), где S ( x) −сумма       ряда   Фурье     функции       f (x).




Эта cумма является периодической функцией с периодом 2π и совпадает с
функцией f (x) на сегменте [−π ,π ].
Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим

                    1 π           1 π           π
                                                      1 π
               a 0 = ∫f ( x ) dx = ∫(π +X )dx = ∫ dx + ∫Xdx
                    π −π          π −π         −π     π −π

Страницы