Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 7 стр.

                                         7

Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по
интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом,
    π
a0 = ∫dx =2π.
    −π


Далее находим коэффициенты a m . Имеем

    1 π                  1 π
am = ∫ f ( x) cos mX dx = ∫(π + X ) cos mX dx =
    π −π                 π −π
     π
                   1 π
   = ∫ cos mX dx + ∫X cos mX dx.
     −π           π −π
Нетрудно видеть,что оба интеграла равны нулю(подынтегральная функция
второго интеграла является нечетной как произведение четной функции на
нечетную).
Итак,    a m =0 , т.е. a1 =a 2 =a3 =... =0. Определяем теперь коэффициенты
bm :
    1 π                 1 π                   π
                                                          1 π
bm = ∫f ( x) sin mX dx = ∫(π +X ) sin mX dx = ∫sin mX dx + ∫X sin mX dx.
    π −π                π −π                 −π           π −π


Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла –
четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом,
     2π
bm = ∫X sin mX dx.
     π0
интегрируя                   по                 частям,        получим
                                   1
u =X , dv =sin mX dx, du =dx, v =−( ) cos mX , т.е.
                                   m
            π
     2X         2 π             2         2         π
                                                       2
bm =− cos mX +    ∫ cos m Xdx =− cos mπ +     sin mX =− (−1) m =
     mπ     0  mπ 0             m        πm 2
                                                    0  m
     2
    = (−1) m +1.
     m

Следовательно, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид

            ∞   ( −1) m +1                     sin 2 X sin 3 X sin 4 X
f ( x) =π +2 ∑             sin mX =π +2(sin X −       +       −        +...).
           m =1     m                             2       3       4