Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию тока, график которой выражает
телеграфные сигналы в случае периодической передачи точек (рис.5).
Решение. Функция
)
(
t
i
ω
в пределах периода
]
[
π
2,0
имеет вид
≤<
≤<
=
πωπ
πω
ω
2
,0
)(
1
2
tприI
tприI
ti
Функция
)
(
t
i
ω
терпит разрыв первого рода при
.
ω
=
t
Так как условия Дирихле
удовлетворяются, то применимы формулы
)11.1(,sincos
2
)(
1
0
tnbtna
a
tf
n
n
n
ωωω ++=
∑
∞
=
∫∫
==
ππ
ωωω
π
ωω
π
2
0
2
0
0
),(cos)(
1
),()(
1
ttdntfatdtfa
n
∫
=
π
ωωω
π
2
0
).(sin)(
1
tdtntfb
n
Придется лишь интервал интегрирования разбить на две части
),
2
0
(
π
π
π
до
от
и
до
от
так как в каждой из них функция выражается по-
разному:
,)(
1
)(
1
0
21
12
2
120
∫∫
+=
+
=+=
π
π
π
π
ππ
ω
π
ω
π
II
II
tdItdIa
`
∫∫
=+=+=
π
π
πππ
ω
π
ω
π
ωω
π
ωω
π
22
0
1
0
2
1
0
2
,0
sinsin
)(cos
1
)(cos
1
n
tn
I
n
tn
I
tdtnItdtnIa
n
][
.)1(1)1()cos2(cos)1(cos
coscos
)(sin
1
)(sin
1
1
12211212
2
1
0
2
2
1
0
2
−
−+
−
=−
−
+
−
=−−−−=
=−−=+=
∫∫
nn
n
n
II
n
II
n
II
nn
n
I
n
n
I
n
tn
I
n
tn
I
tdtnItdtnIb
π
π
π
ππ
π
π
π
ω
π
ω
π
ωω
π
ωω
π
π
π
ππ
π
π
Так как выражение в квадратных скобках равно 2 при n нечетном и 0 при n
четном , то подставляя значения
n
bиa
0
в формулу (1.11) получим 
                                                  8

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию тока, график которой выражает
телеграфные сигналы в случае периодической передачи точек (рис.5).




Решение. Функция i (ωt ) в пределах периода [0, 2π ] имеет вид
          � I 2 при 0 <ωt ≤π ,
i (ωt ) =�
           � I1 при π <ωt ≤2π
Функция i (ωt ) терпит разрыв первого рода при ω t =π . Так как условия Дирихле
удовлетворяются, то применимы формулы
             a    ∞
 f (ωt ) = 0 + ∑ an cos nωt +bn sin nωt ,          (1.11)
              2 n =1

         2π                            2π
     1                             1
a0 =     ∫ f (ω t ) d (ω t ), a n =π   ∫ f (ω t ) cos nω td (ω t ),
    π    0                             0



      1 2π
  bn = ∫ f (ω t ) sin nω t d (ω t ).
      π 0
Придется лишь интервал интегрирования разбить на две части
(от 0 доπ и отπ до 2π ), так как в каждой из них функция выражается по-
разному:

    1π             1 2π         πI +πI1
a0 = ∫I 2 d (ωt ) + ∫I1d (ωt ) = 2      =I1 +I 2 , `
    π0             π π             π
     1π                     1 2π                     I sin n ω t      π
                                                                           I sin nω t   2π
a n = ∫I 2 cos nωt d (ωt ) + ∫ I1 cos nω t d (ω t ) = 2                   +1                 =0,
     π0                     π π                      π     n          0    π     n      0


    1π                     1 2π                   I cos nωt           π
                                                                           I cos nωt    2π
bn = ∫I 2 sin nωt d (ωt ) + ∫I1 sin nωt d (ωt ) =− 2                      −1                 =
    π0                     π π                    π    n              0    π    n        π
  I               I                      I −I  I −I         I −I
=− 2 (cos nπ −1) − 1 (cos 2nπ −cos nπ ) = 2 1 + 1 2 (−1) n = 2 1 1 +( −1) n −1 .
  nπ              nπ                       nπ    nπ           nπ
                                                                                        [          ]
Так как выражение в квадратных скобках равно 2 при n нечетном и 0 при n
четном, то подставляя значения a0 и bn в формулу (1.11) получим

Страницы