Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 10 стр.

                                             10


    2π U                   2U π            2U X sin nX  1          π
an = ∫ ωt cos nωt d (ωt ) = 2 ∫X cos nXdx = 2 (        + 2 cos nX ) =
    π0π                    π 0             π      n     n          0
 2U
= 2
 π
      �      1                 2U
                                    [
      �� 0 +n 2 (cos nπ −1)] =n 2π 2 ( −1) −1] ,
                                          n
                                                   или

     � 0 при n четном,
      �
an =�        4U
        �� −n 2π 2 при n нечетном .

                                U 4U ∞ cos nωt
Следовательно,        u (ωt ) =− − 2 ∑                    или
                                2 π n =1,3,5,... n 2
                           U 4U             cos 3ω t cos 5ω t
               u (ω t ) =− − 2 (cos ωt +             +        +...)
                             2 π                32      52

Поскольку точек разрыва нет, полученный ряд дает значение заданной функции
при любых ω t.
     Сумма первых трех членов ряда изображена на рис.7.




Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на полупериоде в сегменте
                                  X2
[0, 2]уравнением      f ( x) =X −
                                  2
Решение. Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным
количеством способов.
Мы здесь приведем два наиболее важных варианта разложения.
1). Доопределим функцию f (x) на сегменте [−2, 0]четным образом (рис.8).




Имеем l =2.