Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
,
3
2
62
)
2
1
(
2
0
322
0
2
0
=
−
=−=
∫
XX
dxXXa
∫
−=
2
0
2
.
2
cos)
2
1
( dx
Xm
XXa
m
π
Интегрируя по частям , получим:
. ;
2
sin
2
,)1(,
2
cos,
2
1
2
Xm
m
vdxXdudx
Xm
dvXXu
π
π
π
=−==−=
∫∫
−−=−−−=
2
0
2
0
2
0
2
.
2
sin)1(
2
2
sin)1(
2
2
sin)
2
1
(
2
dx
Xm
X
m
dx
Xm
X
m
Xm
XX
m
a
m
π
π
π
π
π
π
Еще раз интегрируем по частям :
;
2
cos
2
,,
2
cos,1
Xm
m
vdxdudx
Xm
dvXu
π
π
π
−===−=
=+−=
∫
2
0
22
2
0
22
2
cos
4
2
cos)1(
4
dx
Xm
m
Xm
X
m
a
m
π
π
π
π
][
.0,)1(1
44
cos
4
222222
=−+−=−−=
m
m
b
m
m
m
m
π
π
π
π
Итак,
...).3cos
6
1
2cos
4
1
cos
2
1
(
8
3
1
2
cos
)1(14
3
1
)(
2222
1
22
+++−=
−+
−=
∑
∞
=
XXX
Xm
m
xf
m
m
πππ
π
π
π
2) Доопределим функцию
)
(
x
f
на сегменте
]
[
0,2
нечетным образом (рис.9):
;
2
sin)
2
1
(
2
0
2
dx
Xm
XXb
m
π
∫
−=
,
2
sin,
2
1
2
dx
Xm
dvXXu
π
=−=
;
2
cos
2
,)1(
Xm
m
vdxXdu
π
π
−=−= 
                                            11

     2
             1          � X2 X3� 2 2
a0 =∫( X − X 2 ) dx =�        − � = ,
     0       2           � 2     6 � 0 3
      2
             1         mπ X
 am =∫( X − X 2 ) cos         dx. Интегрируя по частям, получим:
      0      2             2
          1                 mπ X                            2      mπ X
. u =X − X 2 , dv =cos           dx, du =(1 −X ) dx, v =       sin       ;
          2                  2                            mπ         2
        2      1           mπ X 2     2 2              mπ X          2 2             mπ X
 am =     ( X − X 2 ) sin          −    ∫ (1 − X ) sin       dx =  −   ∫ (1 −X ) sin      dx.
      mπ       2             2 0 mπ 0                   2           mπ 0              2
Еще раз интегрируем по частям:

                     mπ X                  2   mπ X
u =1 −X , dv =cos         dx, du =dx, v =− cos      ;
                      2                   mπ    2

                               2
     4               mπ X            4 2      mπ X
am = 2 2 (1 −X ) cos               + 2 2 ∫cos      dx =
    mπ                2        0    mπ 0       2



   4            4      4
=− 2 2 cos mπ − 2 2 =− 2 2 1 +(−1) m ,
  mπ           mπ     mπ
                                      [          ]   bm =0.


Итак,
         1 4 ∞ 1 +(−1) m     mπ X 1 8 1                1            1
 f ( x) = − 2 ∑          cos     =  −    (  cos π X +    cos 2π X +    cos 3π X +...).
         3 π m =1 m 2         2    3 π 2 22           42            62
2) Доопределим функцию f (x) на сегменте [−2, 0] нечетным образом (рис.9):




     2
           1         mπ X              1              mπ X
bm =∫( X − X 2 ) sin      dx;    u =X − X 2 , dv =sin      dx,
    0      2          2                2               2
                        2     mπ X
du =(1 −X ) dx,   v =− cos         ;
                       mπ      2

Страницы