Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
получим :
,
4
cos
4
sin
4
)(sin
2/
2
2
0
2
0
2
0
0
πππ
ωω
π
πππ
I
X
I
Xdx
I
ttdIa =−===
∫∫
===
∫∫
2
0
2
0
2cossin2
2
4
)(2cossin
2/
2
π
π
π
ωωω
π
nXdxX
I
ttdntIa
n
Следовательно,
∑
∞
=
−
−=
1
2
14
2cos42
)(
n
n
tnII
ti
ω
ππ
ω
или
...).
9
7
8cos
7
5
6cos
5
3
4cos
3
2cos
2
1
(
4
)( −
⋅
−
⋅
−
⋅
−−=
ttttI
ti
ω
ω
ω
ω
π
ω
Разложение справедливо при любом
.
t
ω
Постоянная составляющая,
выпрямленного тока равна .
2
π
I
Пример 6. Разложить функцию
2
)(
X
xf
−
=
π
в промежутке
2
,
0
(
π
Решение. Вычисляем коэффициенты ряда Фурье
,0)
2
1
(
2
1
2
1
)(
1
2
0
2
2
0
2
0
0
=−=
−
==
∫∫
πππ
π
π
π
ππ
XXdx
X
dxxfa
,...).3,2,1(,0sin
2
1
sin
)(
2
1
cos
2
1
cos)(
1
2
0
2
0
2
0
2
0
==−
−−=
−
==
∫
∫∫
nnXdx
n
n
nX
XnXdx
X
nXdxxfa
n
π
πππ
π
π
π
π
ππ
.
1
cos
2
1cos
)(
2
1
sin
2
1
sin)(
1
2
0
2
0
2
0
2
0
n
nXdx
nn
nX
XnXdx
X
nXdxxfb
n
=−−−=
−
==
∫∫∫
ππππ
π
π
π
π
ππ
Таким образом , мы приходим к замечательному по простоте разложению,
содержащему одни лишь синусы:
.
)14(
14
)
12
1
12
1
(
2
12
)12cos(
12
)12cos(2
2
2
0
−
−=
−
−
+
=
−
−
+
+
+
−=
n
I
nn
I
n
Xn
n
XnI
πππ
π
                                                13

получим :
          π                   π                      π
          2                   2                      2
     2                      4I          4I                4I
a0 =     ∫ I sin ωtd (ωt ) = ∫sin Xdx =− cos X           = ,
    π /2 0                  π 0         π            0    π

          π                                 π
          2                                 2
     2                               4I
an =     ∫ I sin ωt cos 2nωtd (ωt ) = ∫2 sin X cos 2nXdx =
    π /2 0                           2π 0
     �                                  π
 2 I � cos(2n +1) X cos(2n −1) X �      2
                                             2I  1     1      4I    1
= �−               +                        = (     −     ) =−            .
 π �      2n +1        2n −1 ��         0    π 2n +1 2n −1    π (4n 2 −1)
      �

Следовательно,
         2 I 4 I ∞ cos 2nωt
i (ωt ) = − ∑                       или
         π    π n =1 4n 2 −1
         4 I 1 cos 2ωt cos 4ωt cos 6ωt cos 8ωt
i (ωt ) = ( −             −          −         −        −...).
         π 2        3        3 ⋅5       5 ⋅7      7 ⋅9
Разложение справедливо при любом ωt. Постоянная составляющая,
                              2I
выпрямленного тока равна          .
                               π
                                             π −X
Пример 6. Разложить функцию f ( x) =                в промежутке (0,2π ).
                                               2
Решение. Вычисляем коэффициенты ряда Фурье

    1 2π         1 2π π −X      1     1 2 2π
a0 = ∫f ( x )dx = ∫        dx = (π X − X ) =0,
    π 0          π 0 2         2π     2    0


    1 2π               1 2π π −X            1       sin nX        2π
an = ∫f ( x) cos nXdx = ∫        cos nXdx = (π −X )                    −
    π 0                π 0 2               2π          n           0

     1 2π
−       ∫sin nXdx =0,       ( n =1,2,3,...).
    2nπ 0


     1 2π              1 2π π −X             1       cos nX 2π    1 2π           1
bn = ∫f ( x) sin nXdx = ∫        sin nXdx =− (π −X )           −     ∫ cos nXdx = .
    π 0                π 0 2                2π         n     0   2nπ 0           n
Таким образом, мы приходим к замечательному по простоте разложению,
содержащему одни лишь синусы:

Страницы