Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
∫∫
−=−+−−=
2
0
2
0
2
0
2
;
2
cos)1(
2
2
cos)1(
2
2
cos)
2
1
(
2
dx
Xm
X
m
dx
Xm
X
m
Xm
XX
m
b
m
π
π
π
π
π
π
;
2
sin
2
,,
2
cos),1(
Xm
m
vdxdudx
Xm
dvXu
π
π
π
=−==−=
∫
+
=−=
2
0
22
2
0
22
2
sin
4
2
sin)1(
4
dx
Xm
m
Xm
X
m
b
m
π
π
π
π
][
,...).2,1,0(0
;)1(1
88
cos
8
2
cos
8
333333
2
0
33
==
−−=+−=−=
ma
mm
m
m
Xm
m
m
m
ππ
π
π
π
π
Итак,
...).
2
5
sin
5
1
2
3
sin
3
1
2
(sin
16
2
sin
)1(18
)(
333
1
3
+++=
−−
=
∑
∞
=
XXXXm
m
xf
m
m
πππ
π
π
π
Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию двухполупериоднного
выпрямленного тока, график которой изображен на рисунке 10.
Решение. Функция определяется уравнением .sin)( tIti ωω = Период
.
2
π
=
=
l
T
Продолжим функцию четным образом на отрезок
[-π ,0] . Как и в предыдущем примере .2 tn
l
tn
ω
π
=
По формулам:
∫∫
∑
===
+=
∞
=
ll
n
n
n
ntd
l
tn
tf
l
atdtf
l
a
l
tn
a
a
tf
00
0
1
0
,...)2,1(),(cos)(
2
),()(
2
,cos
2
)(
ω
πω
ωωω
πω
ω
                                                   12

                                      2
      2      1          mπ X                   2 2              mπ X       2 2             mπ X
bm =−   ( X − X 2 ) cos                   +      ∫ (1 − X ) cos      dx =    ∫ (1 −X ) cos      dx;
     mπ      2           2            0       mπ 0               2        mπ 0              2
                      mπ X                   2     mπ X
u =(1 −X ),       dv =cos  dx, du =−dx, v =    sin      ;
                        2                   mπ      2
     4               mπ X 2 4 2 mπ X
bm = 2 2 (1 −X ) sin
    mπ
                          +
                      2 0 m 2π 2 ∫
                                   sin
                                       2
                                         dx =
                                 0




                                                                [         ]
                       2
   8       mπ X               8            8     8
=− 3 3 cos                 =− 3 3 cos mπ + 3 3 = 3 3 1 −( −1) m ;
  mπ        2          0     mπ           mπ    mπ
a m =0       (m =0,1,2,...).
Итак,
         8    ∞1 −(−1) m     mπ X 16      πX 1       3π X 1      5π X
f ( x) = 3 ∑             sin     = 3 (sin    + 3 sin     + 3 sin      +...).
        π m =1    m           2   π        2  3        2  5        2


Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию двухполупериоднного
выпрямленного тока, график которой изображен на рисунке 10.




Решение. Функция определяется уравнением i(ωt ) =I sin ω t . Период
T =2l =π .
  Продолжим функцию четным образом на отрезок
                                    nπ ω t
[-π,0] . Как и в предыдущем примере        =2nω t.
                                      l
По формулам:
          a     ∞       nπω t
 f (ωt ) = 0 + ∑ an cos       ,
           2 n =1         l
    2l                             2l            nπω t
a0 = ∫f (ωt )d (ωt ),          an = ∫f (ωt ) cos       d (ωt ), ( n =1,2,...)
    l0                             l0              l

Страницы