Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
∑
∞
=
−
+
+
=
,...5,3,1
1221
sin)(2
2
)(
n
n
tnIIII
ti
ω
π
ω или
....)
5
5sin
3
3sin
(sin
)(2
2
)(
1221
+++
−
+
+
=
tt
t
IIII
ti
ω
ω
ω
π
ω
Полученный ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва
,...).
3
,
2
,
,
0
.
.
(
π
ω
π
ω
π
ω
ω
=
=
=
=
е
т
В точках разрыва сумма ряда равна
средне арифметическому предельных значений функции, т.е. .
2
21
II
+
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию напряжения на сетке лампы, график
которой изображен на рисунке 6.
Решение. Рассматриваемая функция на отрезке
]
[
π
,0 определяется уравнением
.)( t
U
tu ω
π
ω = Продолжив функцию четным образом на отрезок
]
[
o,
π
−
(см .
пунктир на рис. 6),мы можем разложить ее в ряд Фурье по формулам
∑
∞
=
+=
1
0
,cos
2
)(
n
n
nXa
a
xf
∫
=
π
π
0
0
,)(
2
dxxfa
∫
==
π
π
0
,...2,1cos)(
2
nnXdxxfa
n
,
которые для аргумента
t
ω
принимают вид :
∑
∞
=
+=
1
0
,cos
2
)(
n
n
tna
a
tf ωω
∫
=
π
ωω
π
0
0
),()(
2
tdtfa
∫
==
π
ωωω
π
0
,...2,1)(cos)(
2
ntdtntfa
n
Имеем:
∫
====
π
π
π
ωω
ππ
0
0
2
2
0
,;
2
2
)(
2
UaU
U
tdt
U
a
                                                 9



          I1 +I 2 2( I 2 −I1 ) ∞ sin nωt
i (ωt ) =
             2
                 +
                        π
                                  ∑        n
                                                     или
                              n =1,3,5,...


      I1 +I 2 2( I 2 −I1 )          sin 3ωt sin 5ωt
i (ωt ) =    +             (sin ωt +       +        +...) .
         2          π                  3       5
Полученный ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва

( т.е. ωt =0, ωt =π , ωt =2π , ωt =3π ,...). В точках разрыва сумма ряда равна
                                                              I +I
средне арифметическому предельных значений функции, т.е. 1 2 .
                                                                2

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию напряжения на сетке лампы, график




которой изображен на рисунке 6.


Решение. Рассматриваемая функция на отрезке [0,π ] определяется уравнением

         U
u (ωt ) = ωt. Продолжив функцию четным образом на отрезок [−π , o] (см.
         π
пунктир на рис. 6),мы можем разложить ее в ряд Фурье по формулам


         a0 ∞                 2π                          2π
 f ( x) = + ∑ an cos nX , a0 = ∫f ( x)dx,             an = ∫f ( x) cos nXdx n =1,2,... ,
         2 n =1               π0                          π0
которые для аргумента ω t принимают вид:

         a0 ∞                  2π
f (ωt ) = + ∑ an cos nωt , a0 = ∫f (ωt ) d (ωt ),
         2 n =1                π0
     2π
a n = ∫f (ω t ) cos nω t d (ω t )   n =1,2,...
     π0

Имеем:
    2π U           2U π 2
a0 = ∫ ωt d (ωt ) = 2     =U ; a0 =U ,
    π0π            π 2

Страницы