Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
а ) Продолжим
)
(
x
f
на промежуток
]
[
0, l
−
четным образом (см . рис2).
Тогда, согласно (1.4)
()
0
...,1,0cos)(
2
0
=
==
∫
k
l
k
b
kdxX
l
xf
l
a
κπ
и ряд Фурье принимает вид
∑
∞
=
+
1
0
)7.1(,cos
2
~)(
k
k
X
l
a
a
xf
κπ
где он представляет
)
(
x
f
на
]
[
l,0
.
б) Продолжим
)
(
x
f
на
]
[
0, l
−
нечетным образом (см .рис.3). Тогда
)
(
,...2,10
=
=
ka
k
(
0
a может быть отличным от нуля), а
dxX
l
xf
l
b
l
k
κπ
sin)(
2
0
∫
= и ряд Фурье в этом случае будет иметь вид
∑
∞
=1
)8.1(sin~)(
k
k
X
l
bxf
κπ
4. Часто, особенно в радиофизике, ряд Фурье записывают в комплексной форме:
)9.1(.)(
2
1
,)(
2
1
,)(
2
1
,sincos
2
0
1
0
dxexf
l
cdxexf
l
cdxxf
l
c
гдеecX
l
bX
l
a
a
l
l
X
l
i
k
l
l
l
l
X
l
i
k
kk
X
l
i
kkk
∫∫∫
∑∑
−
−
−−
−
∞
=
∞+
−∞=
===
=++
κπκπ
κπκπ
                                                  5



а) Продолжим f (x) на промежуток [−l ,0               ] четным образом (см. рис2).

                                  2l           κπ
                              ak = ∫f ( x) cos    X dx            (   k =0,1, ...)
Тогда, согласно (1.4)             l0            l
                              bk =0

                                                  a0 ∞         κπ
и ряд Фурье принимает вид                f ( x) ~   + ∑ ak cos    X,                         (1.7)
                                                  2 k =1        l
где он представляет f (x) на [0, l ].

б) Продолжим f (x) на [−l ,0      ] нечетным образом (см.рис.3). Тогда
a k =0 (k =1,2,...   )   ( a0 может быть отличным от нуля), а

    2l           κπ
bk = ∫f ( x) sin    X dx        и ряд Фурье в этом случае будет иметь вид
    l0            l

                                                  ∞             κπ
                                       f ( x) ~   ∑ bk sin       l
                                                                   X             (1.8)
                                                  k =1




4. Часто, особенно в радиофизике, ряд Фурье записывают в комплексной форме:

                                                      κπ
a0 ∞         κπ           κπ      +∞    i                X
  + ∑ ak cos    X +bk sin    X = ∑ ck e                l     , где
2 k =1        l            l    k =−∞
                                       κπ                                     κπ
    1 l              1 l       −i         X                   1 l         i      X
c0 = ∫f ( x) dx, ck = ∫f ( x)e          l   dx,       c−k    = ∫f ( x ) e      l   dx.   (1.9)
    2l −l            2l −l                                    2l −l

Страницы