Молекулярная физика и термодинамика. Ч.2. Косенко Г.И - 6 стр.

тур между поверхностью стержня и его внутренними областями можно                                              αp
пренебречь. Получим T − T0 = (T − T1 ) exp(− ax) , откуда                                                q=         (T1 − T0 ) .                  (4)
                                                                                                                a
                                        1 ⎛ T1 − T0 ⎞ .                            Вспоминая выражение для a , находим, что
                             a=           ln ⎜           ⎟             (2)                                              1
                                        x ⎝ T − T1 ⎠                                                      λ=q                    .                (5)
                                                                                                                 aS (T1 − T0 )
      Уравнение (1) может быть выведено следующим образом. Рас-
смотрим отрезок стержня длиной dx . Количество тепла, проходящее че-               Подставляя значение a из уравнения (2), получаем окончательно
рез сечение, соответствующее точке x , будет                                                                          qx               .          (6)
                                                                                                     λ=
                                            ⎛ dT ⎞ .                                                                       ⎛ T1 − T0 ⎞
                                 q ' = −λ ⎜        ⎟ S                                                    aS (T1 − T0 ) ln ⎜         ⎟
                                            ⎝ dx ⎠ x                                                                       ⎝ T − T1 ⎠
      Количество тепла, проходящее через сечение, соответствующее                  Для определения теплопроводности согласно этой формуле необ-
точке x + dx , будет                                                         ходимо знать количество тепла q , отдаваемое стержнем при стацио-
                                           ⎛ dT ⎞                            нарном режиме через поверхность стержня, температуру нагреваемого
                               q '' = −λ ⎜       ⎟       S.
                                           ⎝ dx ⎠ x + dx                     конца стержня T1 , температуру T в какой-либо точке стержня на рас-
      С боковой поверхности отрезка стержня теряется количество тепла        стоянии х от нагреваемого конца, площадь поперечного сечения стерж-
                               dq '' = α (T − T0 ) pdx .                     ня S и температуру окружающей среды T0 .
      При стационарном процессе dq '' = q '− q '' ,                                Практически, конечно, невозможно иметь бесконечно длинный
                                                                             стержень, однако чем он длиннее, тем точнее может быть измерена ве-
      т. е. α (T − T0 ) pdx = −λ ⎛⎜ dT ⎞⎟ S + λ ⎛⎜ dT ⎞⎟           S.        личина коэффициента теплопроводности. Найдем величину ошибки,
                                   ⎝ dx ⎠ x          ⎝ dx ⎠ x + dx           полагая, что стержень имеет длину l . Из уравнения (3), интегрируя его
      Разлагая это выражение в ряд и пренебрегая бесконечно малыми           от x = l до x = ∞ , получим
высших порядков, можем написать                                                                           αp
                                                       d 2T                                          ∆q =      (T1 − T0 ) exp(− al ) .
                          ⎛ dT ⎞         ⎛ dT ⎞                                                            a
                          ⎜     ⎟      −⎜       ⎟ = 2 dx ,
                          ⎝ dx ⎠ x + dx ⎝ dx ⎠ x dx                                Разделив это соотношение на выражение (4), полученное путем ин-
      откуда                                                                 тегрирования того же уравнения (3) в пределах x = 0 до x = ∞ , получим
                                d 2T α p                                                                  ∆q = q exp(−al ) .                      (7)
                                       =       (T − T0 ) .                         Это выражение и дает величину ошибки, допускаемой при опре-
                                dx 2 λ S
                                                                             делении теплоты q , когда принимают стержень длины l за бесконечно
                          α p , получим d 2T
      Обозначая a 2 =                                = a 2 (T − T0 ) .       длинный.
                          λS                   dx 2
      Количество теплоты, теряемое стержнем с боковой его поверх-                                      Описание прибора
ности, dq = α (T − T0 ) pdx , что может быть записано в виде:
                                                                                   В задаче определяется теплопроводность стержня 1, нагревание
                       dq                                                    конца которого производится в электропечи 2. Количество тепла, давае-
                          = α p (T − T1 ) exp(− ax ) .             (3)
                       dx                                                    мое печью в единицу времени, определяется по формуле:
      Интегрируя это выражение в пределах от x = 0 до x = ∞ , получим                                   Q = 0, 24U 0 I 0 ,



                                   11                                                                          12