Составители:
Рубрика:
эффективными для систем нелинейных уравнений являются методы,
которые требуют дифференцирования уравнений по искомым
переменным. Одним из таких методов является метод Ньютона,
обладающий быстрой сходимостью и пригодный для решения широкого
класса нелинейных уравнений.
Метод Ньютона является итерационным. На каждой итерации
система нелинейных уравнений заменяется линейной системой, решение
которой дает значения переменных, более
близкие к искомому решению,
чем исходное приближение.
Для пояснения идеи метода Ньютона ограничимся решением в общем
виде одного нелинейного уравнения
f(x)=0. (5.30)
Искомым решением этого уравнения является точка х*, в которой
кривая f(x) пересекает горизонтальную ось (рис. 5.2).
Рис. 5.2. Графическая иллюстрация метода Ньютона
Зададимся начальным приближением х
0
и заменим в окрестности
точки х
0
действительную функцию f(x) линейным уравнением
f(x
0
)+(x–x
0
)f'(x
0
)=0, (5.31)
где f '(x
0
) – значение производной функции ∂f/
∂
x при х=х
0
.
Левая часть линейного уравнения (5.31) представляет собой два
первых члена разложения функции f(x) в ряд Тейлора. Графически
линейное уравнение представляет собой касательную к кривой f(x) в точке
х
0
.
Решив линейное уравнение (5.31) относительно х, найдем точку
пересечения этой касательной с горизонтальной осью (рис. 5.2.) и эту
точку будем считать первым приближением х
1
х
1
=х
0
–f(x
0
)/f' (x
0
). (5.32)
Аналогично определяются следующие приближения. На
произвольной k-й итерации определяется (k+1)-е приближение
68
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
