Функциональные последовательности и ряды - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

x = −1 f
n
(x) = (−1)
n
X
0
= (−1, 1] X
f(x) =
0, − 1 < x < 1,
1, x = 1.
b) |z| 6= 1
lim
n→∞
f
n
(z) = lim
n→∞
z
n
=
0, |z| < 1,
∞, |z| > 1.
z = 1 f
n
(z) = 1 lim
n→∞
f
n
(z) = lim
n→∞
1 = 1
|z| = 1 z 6= 1 z = e
iϕ
ϕ ∈ R ϕ 6= 2πk k ∈ Z
lim
n→∞
f
n
(z)
|z| = 1 z 6= e
2πki
|f
n+1
(z) − f
n
(z)| =
¯
¯
z
n+1
− z
n
¯
¯
= |z
n
(z −1)| = |z|
n
|z −1| = |z −1| =
=
¯
¯
e
iϕ
− 1
¯
¯
= |cos ϕ + i sin ϕ − 1| =
q
(cos ϕ − 1)
2
+ sin
2
ϕ =
=
q
cos
2
ϕ − 2 cos ϕ + 1 + sin
2
ϕ =
p
2 (1 − cos ϕ) =
r
4 sin
2
ϕ
2
= 2
¯
¯
¯
sin
ϕ
2
¯
¯
¯
.
ϕ 6= 2πk
ϕ
2
6= πk k ∈ Z sin
ϕ
2
6= 0
2
¯
¯
¯
sin
ϕ
2
¯
¯
¯
> 0
ε
2
¯
¯
¯
sin
ϕ
2
¯
¯
¯
m
n ≥ m p = 1
|f
n+p
(z) − f
n
(z)| ≥ ε.
lim
n→∞
f
n
(z)
X
0
= {z ∈ C : |z| < 1}∪{1} X
0
X

Страницы