Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 21
f(x) =
(π
2
− 4x
2
) tg x
|x|
при x ∈ (−π; 2π), x 6= 0, x 6=
k +
1
2
π, k = 0, ± 1;
f(0) = f
3π
2
= π
2
, f
π
2
= 8, f
−
π
2
= −8.
6.4 Найти в точке (−1; −1) значение радиуса кривизны графика
функции y(x), заданной уравнением x
3
+ y
3
= 1 + 3y
2
x.
7.5 Найти lim
x→+∞
h
3
p
x
3
− 3x
2
− x + e
1
x
· ln
2
sh x
i
.
8.7 Построить кривую x =
t
2
t
2
− 1
, y = t + 1 +
1
t + 1
.
9.3 Установить, сходится или расходится последовательность
{x
n
}, x
n
> 0, n = 1, 2, . . . , если lim
n→∞
x
n+1
x
n
2
= 4.
Ответы к варианту Е
1. а) sin
2
x ·ln(1 + cos x) − cos x +
1
2
cos
2
x + C;
б)
1
3
(1 + x
2
)
3/2
− 2(1 + x
2
)
1/2
−
1
(1 + x
2
)
1/2
+ C.
2. e
−1/2
; e
x
√
1+2x
= 1 + x +
3
2
x
2
+
2
3
x
3
+ o(x
3
),
cos(x −x
2
) = 1 −
x
2
2
+ x
3
+ o(x
3
).
3. а) Асимптоты: x = 0, y = x − 7;
y
0
=
(x −1)
6
(x + 6)
x
7
, y
00
=
42(x −1)
5
x
8
; график на рис. 4.
б) Асимптота: y = −x − 1 (x → ∞);
y
0
= −
x
(x −1)
2/3
(x + 2)
1/3
, y
00
=
2
(x + 2)
4/3
(x −1)
5/3
, график
на рис. 5.
4. а) y = −3 + 14x −
57x
2
2
+ o(x
2
);
б) y =
t
2
2
− 5
· e
4
e
−t
2
, t = x + 2,
            § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.                      21

                             (π 2 − 4x2 ) tg x
                          f (x) =
                                     |x|
                                               
                                              1
      при x ∈ (−π; 2π), x 6= 0, x 6= k +          π, k = 0, ± 1;
                                              2
                   
                   3π            π              π
        f (0) = f      = π2 , f         = 8, f −       = −8.
                    2              2                2
6. 4 Найти в точке (−1; −1) значение радиуса кривизны графика
  функции y(x), заданной уравнением x3 + y 3 = 1 + 3y 2 x.
                        h p                  1
                                                         i
                             x3 − 3x2 − x + e x · ln2 sh x .
                           3
7. 5 Найти         lim
                      x→+∞
                                       t2                  1
8. 7 Построить кривую x =            2
                                           , y =t+1+         .
                                    t −1                 t+1
9. 3 Установить, сходится или расходится последовательность
                                                    2
                                                xn+1
  {xn }, xn > 0, n = 1, 2, . . . , если lim             = 4.
                                          n→∞    xn




                        Ответы к варианту Е
                                                 1
1. а) sin2 x · ln(1 + cos x) − cos x + cos2 x + C;
                                                 2
      1         2 3/2                2 1/2            1
  б) (1 + x ) − 2(1 + x ) −                                  + C.
      3                                         (1 + x2 )1/2
                √                       3         2
2. e−1/2 ; ex 1+2x = 1 + x + x2 + x3 + o(x3 ),
                                        2         3
             2          x2         3          3
  cos(x − x ) = 1 −         + x + o(x ).
                        2
3. а) Асимптоты: x = 0, y = x − 7;
        (x − 1)6 (x + 6) 00           42(x − 1)5
  y0 =                    ,  y    =                  ; график на рис. 4.
                x7                           x8
      б) Асимптота: y = −x − 1 (x → ∞);
                      x                                      2
  y0 = −                               , y 00 =                          , график
           (x − 1)2/3 (x + 2)1/3                   (x + 2)4/3 (x − 1)5/3
  на рис. 5.
                            57x2
4. а) y = −3 + 14x −                  + o(x2 );
            2                2
             t                   2
  б) y =         − 5 · e4 e−t , t = x + 2,
              2

Страницы