Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 19
E
1
E
2
E
3
t −∞ −1 −
2
3
−0 +0 2 2 +∞
x(t) −∞ % 0 %
1
12
% +∞ +∞ &
27
4
27
4
% +∞
x
0
(t) + 0 + + + − 0 0 +
y(t) 2 −0 & 0 & −
1
4
% +∞ +∞ &
15
4
15
4
& 2 + 0
y
0
(t) − − − 0 + − − − −
Y
0
(x) − −∞ − 0 + + +∞ −∞ −
Y
00
(x) −
/
∃ + + + −
/
∃
/
∃ +
5) Построение кривой. Строим кривую, считывая ин-
формацию из таблицы. См. рис. 3 на с. 7.
t = −1, O(0; 0); x = 0 — точка перегиба с вертикальной
касательной;
t = −
2
3
, A
1
12
; −
1
4
; x =
1
12
— точка минимума Y (x);
t = 2, B
27
4
;
15
4
; t = 2 — граничная точка интервалов
E
2
и E
3
; касательная в точке B вертикальна; y =
15
4
— точка
минимума X(y).
При решении задачи № 6 нужно использовать формулу для
подсчёта кривизны, при этом не забывать, что в неё входит
модуль y
00
.
В задаче нужно найти первую и вторую производные в дан-
ной точке функции, заданной неявно. Для этого надо дважды
продифференцировать тождество, в которое входит y(x), и из
полученных равенств найти y
0
и y
00
в заданной точке.
6. Найти в точке (1; 1) значение радиуса кривизны графика
функции y(x), заданной уравнением x
4
+ y
4
− 2xy = 0.
Р е ш е н и е. Дифференцируя тождество
x
4
+ y
4
(x) −2xy(x) ≡ 0,
получаем
2x
3
+ 2y
3
(x)y
0
(x) −y(x) − xy
0
(x) ≡ 0. (2)
Так как y(1) = 1, то из (2) следует, что
y
0
(1) = −1.
         § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.           19

                    E1                       E2            E3
      t   −∞   −1        − 23     −0 +0    2  2    +∞
                          1                27 27
  x(t) −∞ % 0        %   12     % +∞ +∞ & 4   4  % +∞
  x0 (t)     + 0     +   +      +       − 0   0 +
  y(t) 2 − 0 & 0     &   − 14   % +∞ +∞ & 15
                                           4
                                              15
                                              4  & 2+0
  y 0 (t)    − −     −    0     +       − −   − −
 Y 0 (x)     − −∞    −    0     +       + +∞ −∞ −
   00           /                          /  / +
 Y (x)       − ∃     +   +      +       − ∃   ∃
    5) Построение кривой. Строим кривую, считывая ин-
 формацию из таблицы. См. рис. 3 на с. 7.
    t = −1, O(0; 0); x = 0 — точка перегиба с вертикальной
 касательной;           
           2      1    1         1
    t=− ,A           ;− ; x =      — точка минимума Y (x);
           3  12     4        12
                27 15
    t = 2, B       ;     ; t = 2 — граничная точка интервалов
                 4 4
                                                  15
 E2 и E3 ; касательная в точке B вертикальна; y =    — точка
                                                   4
 минимума X(y).

   При решении задачи № 6 нужно использовать формулу для
подсчёта кривизны, при этом не забывать, что в неё входит
модуль y 00 .
  В задаче нужно найти первую и вторую производные в дан-
ной точке функции, заданной неявно. Для этого надо дважды
продифференцировать тождество, в которое входит y(x), и из
полученных равенств найти y 0 и y 00 в заданной точке.

6. Найти в точке (1; 1) значение радиуса кривизны графика
  функции y(x), заданной уравнением x4 + y 4 − 2xy = 0.
     Р е ш е н и е. Дифференцируя тождество
                   x4 + y 4 (x) − 2xy(x) ≡ 0,
 получаем
            2x3 + 2y 3 (x)y 0 (x) − y(x) − xy 0 (x) ≡ 0.        (2)
 Так как y(1) = 1, то из (2) следует, что
                           y 0 (1) = −1.

Страницы