Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 17
y
00
=
(x + 1)x
−
2
3
(x + 3)
−
1
3
0
=
1
x
2
3
(x + 3)
1
3
−
2(x + 1)
3x
5
3
(x + 3)
1
3
−
−
x + 1
3x
2
3
(x + 3)
4
3
= −
2
x
5
3
(x + 3)
4
3
.
При x < 0 имеем: y = −x − 2 — наклонная асимптота при
x → −∞;
y
0
= −
x + 1
x
2
3
(x + 3)
1
3
, y
00
=
2
x
5
3
(x + 3)
4
3
.
График y(x) см. на рис. 2 на с. 6.
x −3 −1 0
y & 0 %
3
√
4 & 0 %
y
0
− −∞+∞ + 0 − −∞+∞ +
y
00
−
/
∃ − − −
/
∃ −
min max min
При построении параметрически заданных кривых для
отыскания невертикальных асимптот нужно сначала опреде-
лить, к чему должно стремиться t, чтобы x(t) стремилось к
±∞, при исследовании на вертикальные асимптоты — к чему
должно стремиться t, чтобы y(t) стремилось к ±∞, а x(t) — к
конечному x
0
.
По производной x
0
(t) определяем интервалы E
k
изменения
t, на которых сохраняется знак производной x
0
(t), а функция
y(t) непрерывна. На каждом из интервалов E
k
функция x(t)
имеет обратную функцию t
k
(x), определённую на соответству-
ющем промежутке изменения x. Имеем функции y(t
k
(x)), кото-
рые обозначаем через Y (x).
Далее вычисляем y
0
(t), Y
0
(x), Y
00
(x). Заполняем таблицу.
Она облегчает построение кривой.
8. Построить кривую x =
(t + 1)
3
t
2
, y =
(t + 1)(2t + 1)
t
2
.
Р е ш е н и е. 1) Функции x(t), y(t) определены при
t ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞).
          § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.                       17
                     2          1
                                   0         1               2(x + 1)
     y 00 = (x + 1)x− 3 (x + 3)− 3 =     2          1   −      5         1   −
                                        x 3 (x + 3) 3       3x 3 (x + 3) 3
        x+1                 2
 −    2         4 = −   5          4 .
   3x 3 (x + 3) 3     x 3 (x + 3) 3
    При x < 0 имеем: y = −x − 2 — наклонная асимптота при
 x → −∞;
                x+1                     2
    y0 = − 2          1 ,    y 00 = 5         4 .
            x (x + 3)
              3       3             x (x + 3) 3
                                      3



     График y(x) см. на рис. 2 на с. 6.
            x      −3    −1      0
                         √3
             y &    0  %    4 &  0  %
               0
            y − −∞+∞ + 0 − −∞+∞ +
            y 00 −  /
                    ∃  − − −     /
                                 ∃  −
                   min   max    min


    При построении параметрически заданных кривых для
отыскания невертикальных асимптот нужно сначала опреде-
лить, к чему должно стремиться t, чтобы x(t) стремилось к
±∞, при исследовании на вертикальные асимптоты — к чему
должно стремиться t, чтобы y(t) стремилось к ±∞, а x(t) — к
конечному x0 .
   По производной x0 (t) определяем интервалы Ek изменения
t, на которых сохраняется знак производной x0 (t), а функция
y(t) непрерывна. На каждом из интервалов Ek функция x(t)
имеет обратную функцию tk (x), определённую на соответству-
ющем промежутке изменения x. Имеем функции y(tk (x)), кото-
рые обозначаем через Y (x).
   Далее вычисляем y 0 (t), Y 0 (x), Y 00 (x). Заполняем таблицу.
Она облегчает построение кривой.

                            (t + 1)3        (t + 1)(2t + 1)
8. Построить кривую x =          2
                                     , y=                   .
                               t                   t2
     Р е ш е н и е. 1) Функции x(t), y(t) определены при
                      t ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞).

Страницы