Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16 Рациональные методы решения задач по матанализу
Р е ш е н и е. а) Область определения (−∞; 2) ∪ (2; +∞);
x = 2 — вертикальная асимптота;
y =
x
3
2(x − 2)
2
=
x
2
1 −
2
x
−2
=
=
x
2
1 +
4
x
+ o
1
x

=
x
2
+ 2 + o(1) при x → ∞,
y =
x
2
+ 2 — наклонная асимптота при x → ∞.
y
0
=
1
2
x
3
(x − 2)
−2
0
=
3
2
x
2
(x − 2)
2
−
x
3
(x − 2)
3
=
x
2
(x − 6)
2(x − 2)
3
,
y
00
=
1
2
x
2
(x − 6)(x − 2)
−3
00
=
x(x − 6)
(x − 2)
3
+
x
2
2(x − 2)
3
−
−
3x
2
(x − 6)
2(x − 2)
4
=
12x
(x − 2)
4
. График y(x) см. на рис. 1 на с. 6.
x 0 2 6
y % 0 % &
27
4
%
y
0
+ 0 + − 0 +
y
00
− 0 + + + +
точка
перегиба
min
б) Область определения (−∞; +∞);
y =
3
p
x(x + 3)
2
при x > 0, y = −
3
p
x(x + 3)
2
при x < 0.
Рассмотрим y(x) при x > 0.
y = x
1 +
3
x
2
3
= x
1 +
2
x
+ o
1
x

= x + 2 + o(1) при
x → +∞,
y = x + 2 — наклонная асимптота при x → +∞,
y
0
=
x
1
3
(x + 3)
2
3
0
=
1
3
(x + 3)
2
3
x
2
3
+
2
3
x
1
3
(x + 3)
1
3
=
x + 1
x
2
3
(x + 3)
1
3
;
16         Рациональные методы решения задач по матанализу

    Р е ш е н и е. а) Область определения (−∞; 2) ∪ (2; +∞);
 x = 2 — вертикальная асимптота;
                           −2
        x3
                   
                 x       2
y=            =      1 −       =
   2(x − 2)2     2       x
                                
                  x       4       1        x
               =      1+ +o             = + 2 + o(1) при x → ∞,
                  2       x       x        2
     x
 y = + 2 — наклонная асимптота при x → ∞.
      2
           1 3           0   3 x2              x3      x2 (x − 6)
    y0 =     x (x − 2)−2 =              2
                                          −         3
                                                      =            ,
           2                  2 (x − 2)      (x − 2)    2(x − 2)3
             1 2                    00     x(x − 6)        x2
    y 00 =      x (x − 6)(x − 2)−3      =          3
                                                      +            −
             2                              (x − 2)     2(x − 2)3
   3x2 (x − 6)       12x
 −             =            . График y(x) см. на рис. 1 на с. 6.
    2(x − 2)4      (x − 2)4



                 x           0       2    6
                                          27
                  y %        0     %   & 4 %
                 y0 +        0     +   − 0 +
                 y 00 −      0     +   + + +
                           точка         min
                          перегиба



       б) Область определения (−∞; +∞);
          p                           p
      y = 3 x(x + 3)2 при x > 0, y = − 3 x(x + 3)2 при x < 0.
        Рассмотрим y(x) при x > 0.
                    2               
                   3 3           2      1
        y = x 1+        = x 1+ +o            = x + 2 + o(1) при
                   x             x     x
     x → +∞,
        y = x + 2 — наклонная асимптота при x → +∞,

                     0           2         1
       1          2    1 (x + 3) 3   2 x3               x+1
 y 0 = x 3 (x + 3) 3 =              +              = 2           1 ;
                        3 x 23        3 (x + 3) 13   x 3 (x + 3) 3

Страницы