Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14 Рациональные методы решения задач по матанализу
Ответ: а) y = −
√
2x −
x
2
√
2
+
3
√
2
x
3
+ o(x
3
);
б) y = −1 +
n
X
k=1
(−1)
k−1
2
k
(C
k
1/2
+ 2C
k−1
1/2
)(x − 1)
2k
+
+ o((x−1)
2n+1
).
При решении задачи № 5 потре буется теорема о непрерыв-
ности частного двух функций, а также необходимо знать опре-
деление точек разрыва 1-го рода, 2-го рода.
Используются пределы:
lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
tg x
x
= 1. (1)
Можно применить правило Лопиталя.
5. Указать все точки непрерывности и точки разрыва, устано-
вить тип разрывов функции f(x), определенной на
−
3π
2
;
5π
2
,
при этом
f(x) =
|x|(π
2
− x
2
)
sin x
при x ∈
−
3π
2
;
5π
2
, x 6= kπ, k = 0, ± 1, 2;
f(0) = f(2π) = π
2
, f(π) = 2π
2
, f(−π) = −2π
2
.
Р е ш е н и е. В любой точке x ∈
−
3π
2
;
5π
2
, x 6= kπ, k = 0,
±1, 2, функция f (x) непрерывна как частное.
Исследуем f (x) в точках x = 0, x = ±π, x = 2π.
x = 0 . Пользуясь (1), получаем
lim
x→+0
f(x) = lim
x→+0
x(π
2
− x
2
)
sin x
= π
2
= f(0), lim
x→−0
f(x) = −π
2
,
x = 0 — точка разрыва 1-го рода функции f (x).
x = ±π . Имеем при x → ±π неопределённость вида
0
0
.
Применим правило Лопиталя.
lim
x→π
f(x) = lim
x→π
x(π
2
− x
2
)
sin x
= lim
x→π
π
2
− 3x
2
cos x
= 2π
2
= f(π);
14           Рациональные методы решения задач по матанализу

                       √     x2     3
        Ответ: а) y = − 2x − √ + √ x3 + o(x3 );
                               2     2
                    n
                    X (−1)k−1 k        k−1
        б) y = −1 +          (C1/2 + 2C1/2 )(x − 1)2k +
                         2k
                        k=1
     + o((x−1)2n+1 ).


   При решении задачи № 5 потребуется теорема о непрерыв-
ности частного двух функций, а также необходимо знать опре-
деление точек разрыва 1-го рода, 2-го рода.
  Используются пределы:
                     sin x           tg x
                 lim       = 1, lim       = 1.          (1)
                x→0 x           x→0 x
Можно применить правило Лопиталя.

5. Указать все точки непрерывности и точки разрыва,
                                                     устано-
                                                           
                                                    3π 5π
  вить тип разрывов функции f (x), определенной на − ;       ,
                                                     2 2
  при этом
                                 |x|(π 2 − x2 )
                         f (x) =
                                   sin x
                        3π 5π
               при x ∈ − ;        , x 6= kπ, k = 0, ± 1, 2;
                         2 2
             f (0) = f (2π) = π 2 ,
                                f (π) = 2π 2 , f (−π) = −2π 2 .
                                                    
                                               3π 5π
        Р е ш е н и е. В любой точке x ∈ − ;           , x 6= kπ, k = 0,
                                                2 2
     ±1, 2, функция f (x) непрерывна как частное.
        Исследуем f (x) в точках x = 0, x = ±π, x = 2π.
         x = 0 . Пользуясь (1), получаем
                 x(π 2 − x2 )
     lim f (x) = lim          = π 2 = f (0),  lim f (x) = −π 2 ,
 x→+0       x→+0    sin x                    x→−0

 x = 0 — точка разрыва 1-го рода функции f (x).
                                                                0
     x = ±π . Имеем при x → ±π неопределённость вида .
                                                                0
 Применим правило Лопиталя.
                            x(π 2 − x2 )       π 2 − 3x2
       lim f (x) = lim                   = lim           = 2π 2 = f (π);
       x→π            x→π      sin x       x→π    cos x

Страницы