Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12 Рациональные методы решения задач по матанализу
где w =
x
2
−
x
2
3
+
x
3
4
+ o(x
3
). Так как w ∼
x
2
при x → +0, то
1
1 −w
будем разлагать до o(w
3
). Получим
1
1 − w
= 1 + w + w
2
+ w
3
+ o(w
3
).
Возвращаясь к x и выписывая лишь слагаемые со степе-
нями x не выше третьей (остальные включены в o(x
3
)), имеем
x
ln(1 + x)
= 1 +
x
2
−
x
2
12
+
x
3
24
+ o(x
3
).
Функцию sh
x
2
−
x
2
12
разлагаем до o(x
3
).
sh
x
2
−
x
2
12
=
x
2
−
x
2
12
+
1
6
x
2
−
x
2
12
3
+o(x
3
) =
x
2
−
x
2
12
+
x
3
48
+o(x
3
).
Тогда
ln u = ln
x
ln(1 + x)
− sh
x
2
−
x
2
12

=
= ln
1 +
x
3
48
+ o(x
3
)
=
x
3
48
+ o(x
3
),
lim
x→+0
v ln u = lim
x→+0
1 + x
3
ln
4
x
x
3
x
3
48
+ o(x
3
)
=
1
48
,
так как lim
x→+0
(x
3
ln
4
x) = lim
x→+0
(x
3
4
ln x)
4
= 0.
Ответ: e
1
48
.
Для получения разложения по формуле Тейлора с остаточ-
ным членом o((x − x
0
)
n
) нужно сделать замену переменной и
свести задачу к получению разложения по формуле Маклорена.
Нужно уметь объединять слагаемые двух сумм, записанных
с помощью знака
X
. Удобно при этом применить сдвиг ин-
декса в одной из сумм и объединить слагаемые нужного по-
рядка обеих сумм, записав отдельно одно из слагаемых.
4. Разложить по формуле Тейлора функцию
y =
x
2
2
− x
p
2 + 4x − 2x
2
12         Рациональные методы решения задач по матанализу

             x x2     x3                       x
     где w = −      +    + o(x3 ). Так как w ∼ при x → +0, то
             2    3    4                       2
       1                           3
           будем разлагать до o(w ). Получим
     1−w
                    1
                        = 1 + w + w2 + w3 + o(w3 ).
                 1−w
        Возвращаясь к x и выписывая лишь слагаемые со степе-
     нями x не выше третьей (остальные включены в o(x3 )), имеем
                     x            x x2       x3
                           =1+ −          +     + o(x3 ).
                ln(1 + x)         2    12 24
                       x x2
                              
      Функцию sh         −       разлагаем до o(x3 ).
                       2    12
                                       3
     x x2         x x2 1 x x2                       x x2 x3
                           
sh     −        = − +            −        +o(x3 ) = − + +o(x3 ).
     2     12     2 12 6 2          12              2 12 48
   Тогда
                              x x2
                                    
                x
ln u = ln              − sh     −         =
            ln(1 + x)         2    12
                                            x3              x3
                                                       
                                                     3
                                 = ln 1 +      + o(x ) =       + o(x3 ),
                                            48              48
                              1 + x3 ln4 x x3
                                                       
                                                     3       1
          lim v ln u = lim                      + o(x  )  =    ,
        x→+0            x→+0      x3        48              48
                                      3
     так как lim (x3 ln4 x) = lim (x 4 ln x)4 = 0.
             x→+0             x→+0
                    1
        Ответ: e 48 .

   Для получения разложения по формуле Тейлора с остаточ-
ным членом o((x − x0 )n ) нужно сделать замену переменной и
свести задачу к получению разложения по формуле Маклорена.
   Нужно уметь объединять
                  X         слагаемые двух сумм, записанных
с помощью знака      . Удобно при этом применить сдвиг ин-
декса в одной из сумм и объединить слагаемые нужного по-
рядка обеих сумм, записав отдельно одно из слагаемых.

4. Разложить по формуле Тейлора функцию
                    2     p
                     x
                y=      −x    2 + 4x − 2x2
                     2

Страницы