Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 11
cos
x
√
3
= 1 −
x
2
6
+ o(x
3
).
Числитель представлен в виде
5
6
x
3
+ o(x
3
).
Искомый предел равен
lim
x→0
5
6
x
3
+ o(x
3
)
x
3
3
+ o(x
3
)
=
5
2
.
Ответ:
5
2
.
При отыскании предела функции f = u(x)
v (x)
применяется
представление f в виде
f = u
v
= e
v ln u
.
Считается известным, что при любом ε > 0
lim
x→+0
(x
ε
ln x) = 0.
7. Найти
lim
x→+0
x
ln(1 + x)
− sh
x
2
−
x
2
12

1
x
3
+ln
4
x
.
Р е ш е н и е. Если ввести обозначения
u =
x
ln(1 + x)
− sh
x
2
−
x
2
12
, v =
1
x
3
+ ln
4
x =
1 + x
3
ln
4
x
x
3
,
то требуется найти
lim
x→+0
u
v
= e
lim
x→+0
v ln u
.
Будем вычислять lim
x→+0
v ln u.
Исходя из структуры функции v, заключаем, что ln u нужно
разлагать до o(x
3
). Имеем
x
ln(1 + x)
=
x
x −
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+ o(x
4
)
=
=
1
1 −
x
2
−
x
2
3
+
x
3
4
+ o(x
3
)
=
1
1 − w
,
           § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.               11

                     x        x2
                 cos √ = 1 −     + o(x3 ).
                      3        6
    Числитель представлен в виде
                       5 3
                         x + o(x3 ).
                       6
 Искомый предел равен
                             5 3       3
                             6 x + o(x )        5
                         lim  x 3          =      .
                         x→0          3
                               3 + o(x )
                                                2
               5
     Ответ:      .
               2

   При отыскании предела функции f = u(x)v(x) применяется
представление f в виде
                           f = uv = ev ln u .
   Считается известным, что при любом ε > 0
                           lim (xε ln x) = 0.
                          x→+0


7. Найти
                                           13 +ln4 x
                                   x x2
                                
                       x                    x
            lim             − sh     −                 .
           x→+0 ln(1 + x)          2   12
    Р е ш е н и е. Если ввести обозначения
                       x x2                          1 + x3 ln4 x
                             
         x                             1
 u=             − sh     −      , v = 3 + ln4 x =                 ,
     ln(1 + x)         2   12         x                  x3
 то требуется найти
                                      lim v ln u
                         lim uv = ex→+0            .
                         x→+0

     Будем вычислять lim v ln u.
                          x→+0
      Исходя из структуры функции v, заключаем, что ln u нужно
  разлагать до o(x3 ). Имеем
    x                    x
          =       2    3    4         =
ln(1 + x)   x − x2 + x3 − x4 + o(x4 )
                                           1                1
                           =                          =       ,
                              1−   x
                                      − x2
                                           + x3      3
                                                + o(x )   1 − w
                                      2     3          4

Страницы