Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 9
1
cos
2
x
= 1 + tg
2
x,
получим
Z
1 + tg
3
x
1 + sin 2x
dx =
Z
1 + t
3
1 + 2t + t
2
dt =
Z
1 − t + t
2
1 + t
dt =
=
Z
t − 2 +
3
t + 1
dt =
t
2
2
−2t + 3 ln |t + 1|+ C, где t = tg x.
Ответ:
1
2
tg
2
x − 2 tg x + 3 ln |1 + tg x|+ C.
Для вычисления предела частного двух функций нужно рас-
крыть неопределённость вида
0
0
. Для этого разлагаем функции
по формуле Маклорена в окрестности точки x = 0 и выделяем
главные части степенного вида числителя и знаменателя. При
этом особое внимание следует обращать на учёт всех членов
нужного порядка малости.
2. Найти
lim
x→0
3
√
1 + 3x + x
2
− ln(1 + s in x) − cos
x
√
3
tg(e
x
− 1) − sh x −
x
2
2
.
Р е ш е н и е. Имеем неопределённость вида
0
0
. В состав зна-
менателя отношения двух функций, данного в условии, входит
лишь одна сложная функция. Поэтому рассмотрим вначале
знаменатель.
Используя разложение для sh x, можно получить предста-
вление
sh x +
x
2
2
= x +
x
2
2
+ o(x
2
).
Тогда сложную функцию tg(e
x
−1) надо будет разлагать тоже
до o(x
2
). Будем иметь
u = e
x
− 1 = x +
x
2
2
+ o(x
2
),
tg(e
x
− 1) = tg u = u + o(u
2
) = x +
x
2
2
+ o(x
2
).
Следовате льно, знаменатель будет представлен в виде o(x
2
).
              § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.                  9

                                 1
                                      = 1 + tg2 x,
                               cos2 x
    получим
   1 + tg3 x           1 + t3             1 − t + t2
Z                 Z                    Z
             dx =               2
                                  dt =               dt =
  1 + sin 2x         1 + 2t + t              1+t
                           t2
  Z               
                3
=     t−2+           dt =     − 2t + 3 ln |t + 1| + C, где           t = tg x.
              t+1          2
              1
     Ответ: tg2 x − 2 tg x + 3 ln |1 + tg x| + C.
              2

   Для вычисления предела частного двух функций нужно рас-
                            0
крыть неопределённость вида . Для этого разлагаем функции
                            0
по формуле Маклорена в окрестности точки x = 0 и выделяем
главные части степенного вида числителя и знаменателя. При
этом особое внимание следует обращать на учёт всех членов
нужного порядка малости.


2. Найти
                     √
                     3
                         1 + 3x + x2 − ln(1 + sin x) − cos √x3
               lim                                   x2
                                                                 .
               x→0             tg(ex − 1) − sh x −   2
                                                  0
       Р е ш е н и е. Имеем неопределённость вида . В состав зна-
                                                  0
    менателя отношения двух функций, данного в условии, входит
    лишь одна сложная функция. Поэтому рассмотрим вначале
    знаменатель.
       Используя разложение для sh x, можно получить предста-
    вление
                             x2      x2
                      sh x +    =x+     + o(x2 ).
                             2       2
    Тогда сложную функцию tg(ex − 1) надо будет разлагать тоже
    до o(x2 ). Будем иметь
                                     x2
                         u = ex − 1 = x ++ o(x2 ),
                                      2
                                               x2
          tg(ex − 1) = tg u = u + o(u2 ) = x +     + o(x2 ).
                                                2
    Следовательно, знаменатель будет представлен в виде o(x2 ).

Страницы