Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10 Рациональные методы решения задач по матанализу
Главная часть степенного вида не выделена. Из этого заклю-
чаем, что все функции надо разлагать до o(x
k
), k > 3.
Тогда получим
sh x +
x
2
2
= x +
x
2
2
+
x
3
6
+ o(x
4
),
u = e
x
− 1 = x +
x
2
2
+
x
3
6
+ o(x
3
).
Так как u ∼ x при x → 0, то tg u надо разлагать до o(u
3
).
tg(e
x
− 1) = tg u = u +
u
3
3
+ o(u
3
) =
= x +
x
2
2
+
x
3
6
+ o(x
3
) +
1
3
x +
x
2
2
+
x
3
6
+ o(x
3
)
3
.
Приводим подобные члены, при этом выписываем лишь
слагаемые со степенями x не выше третьей. Имеем
tg(e
x
− 1) = x +
x
2
2
+
x
3
2
+ o(x
3
).
Для знаменателя получаем представление в виде
x
3
3
+ o(x
3
).
Теперь ясно, что все функции, входящие в состав числителя,
следует разлагать тоже до o(x
3
). Имеем (1 + 3x + x
2
)
1
3
= (1 +
+ v)
1
3
, где v = 3x + x
2
. Так как v ∼ 3x при x → 0, то разлагаем
(1 + v)
1
3
до o(v
3
). Используя биномиальное разложение, полу-
чаем (1 + v)
1
3
= 1 +
1
3
v −
1
9
v
2
+
5
81
v
3
+ o(v
3
), откуда (1 + 3x +
+ x
2
)
1
3
= 1 + x −
2
3
x
2
+ x
3
+ o(x
3
).
Аналогично получаем разложение ln(1 + sin x) = ln(1 + w),
где w = sin x = x −
x
3
6
+ o(x
3
). Имеем
ln(1 + w) = w −
w
2
2
+
w
3
3
+ o(w
3
),
ln(1 + sin x) = x −
x
3
6
+ o(x
3
) −
1
2
x −
x
3
6
+ o(x
3
)
2
+
+
1
3
x −
x
3
6
+ o(x
3
)
3
= x −
x
2
2
+
x
3
6
+ o(x
3
),
10         Рациональные методы решения задач по матанализу

     Главная часть степенного вида не выделена. Из этого заклю-
     чаем, что все функции надо разлагать до o(xk ), k > 3.
        Тогда получим
                         x2        x2   x3
                  sh x +    =x+       +    + o(x4 ),
                          2        2    6
                                   x2   x3
                  u = ex − 1 = x +    +    + o(x3 ).
                                    2    6
     Так как u ∼ x при x → 0, то tg u надо разлагать до o(u3 ).
                         u3
tg(ex − 1) = tg u = u +      + o(u3 ) =
                         3
                                                                3
                     x2    x3                   x2   x3
                                           
                                         1
               =x+      +     + o(x3 ) +     x+    +    + o(x3 ) .
                      2     6            3      2    6
        Приводим подобные члены, при этом выписываем лишь
     слагаемые со степенями x не выше третьей. Имеем
                                x2   x3
                  tg(ex − 1) = x + +    + o(x3 ).
                                 2    2
     Для знаменателя получаем представление в виде
                                x3
                                    + o(x3 ).
                                3
  Теперь ясно, что все функции, входящие в состав числителя,
                                                                  1
  следует разлагать тоже до o(x3 ). Имеем (1 + 3x + x2 ) 3 = (1 +
       1
  + v) 3 , где v = 3x + x2 . Так как v ∼ 3x при x → 0, то разлагаем
           1
  (1 + v) 3 до o(v 3 ). Используя биномиальное разложение, полу-
                 1          1    1        5
  чаем (1 + v) 3 = 1 + v − v 2 + v 3 + o(v 3 ), откуда (1 + 3x +
                            3    9       81
         1              2
  + x2 ) 3 = 1 + x − x2 + x3 + o(x3 ).
                        3
      Аналогично получаем разложение ln(1 + sin x) = ln(1 + w),
                           x3
  где w = sin x = x −         + o(x3 ). Имеем
                            6
                                      w2     w3
                   ln(1 + w) = w −        +       + o(w3 ),
                                       2      3
                                                            2
                      x3                       x3
                                        
                                      1
ln(1 + sin x) = x −       + o(x3 ) −      x−       + o(x3 ) +
                       6              2         6
                                    3
                                              3
                                                          x2   x3
                            
                          1       x
                       +      x−      + o(x3 ) = x −         +     + o(x3 ),
                          3        6                       2   6

Страницы