Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8 Рациональные методы решения задач по матанализу
Методические указания к решению задач.
Решение задач варианта А
При вычислении одного из неопределённых интегралов ка-
ждого варианта работы применяется метод интегрирования по
частям.
Интеграл представляем в виде
Z
f dx =
Z
ϕ dψ(x) = ϕ · ψ −
Z
ψ dϕ(x),
не выписывая отдельно выражений для ϕ и ψ.
1. а) Вычислить интеграл
Z
(arccos ln x)
2
x
dx.
Р е ш е н и е. Заменив переменную, положив t = ln x, полу-
чим
J =
Z
(arccos ln x)
2
x
dx =
Z
(arccos t)
2
dt.
Далее интегрируем два раза по частям
J = t(arccos t)
2
+ 2
Z
t arccos t
√
1 − t
2
dt =
= t(arccos t)
2
− 2
Z
arccos t d
p
1 − t
2
=
= t(arccos t)
2
− 2
p
1 − t
2
arccos t − 2t + C.
Ответ: (arccos ln x)
2
ln x−2
p
1 − ln
2
x arccos ln x−2 ln x+C.
Для вычисления другого интеграла варианта А (№ 1б)) при-
менимо правило вычисления интеграла от f = R(sin x, cos x),
где R(u,v) — рациональная функция ([7], т. 2).
б) Вы числить интеграл
Z
1 + tg
3
x
1 + sin 2x
dx.
Р е ш е н и е. Заметив, что подынтегральная функция не
меняется, если одновременно sin x заменить на −sin x, а cos x
— на −cos x, удобно перейти к новой переменной t = tg x. Так
как
d tg x =
dx
cos
2
x
,
то, поделив числитель и знаменатель подынтегральной функ-
ции на cos
2
x и воспользовавшись соотношением
8       Рациональные методы решения задач по матанализу

        Методические указания к решению задач.
              Решение задач варианта А

   При вычислении одного из неопределённых интегралов ка-
ждого варианта работы применяется метод интегрирования по
частям.
  Интеграл представляем в виде
          Z        Z                 Z
            f dx = ϕ dψ(x) = ϕ · ψ − ψ dϕ(x),

не выписывая отдельно выражений для ϕ и ψ.

                                   (arccos ln x)2
                              Z
1. а) Вычислить интеграл                          dx.
                                         x
     Р е ш е н и е. Заменив переменную, положив t = ln x, полу-
  чим
                     (arccos ln x)2
                  Z                       Z
             J=                     dx = (arccos t)2 dt.
                           x
  Далее интегрируем два раза по частям
                     Z
                       t arccos t
J = t(arccos t)2 + 2    √         dt =
                          1 − t2
                                  Z            p
              = t(arccos t)2 − 2 arccos t d 1 − t2 =
                                             p
                          = t(arccos t)2 − 2 1 − t2 arccos t − 2t + C.
                                     p
     Ответ: (arccos ln x)2 ln x−2 1 − ln2 x arccos ln x−2 ln x+C.

   Для вычисления другого интеграла варианта А (№ 1б)) при-
менимо правило вычисления интеграла от f = R(sin x, cos x),
где R(u,v) — рациональная функция ([7], т. 2).

                                1 + tg3 x
                             Z
     б) Вычислить интеграл                 dx.
                                1 + sin 2x
     Р е ш е н и е. Заметив, что подынтегральная функция не
 меняется, если одновременно sin x заменить на − sin x, а cos x
 — на − cos x, удобно перейти к новой переменной t = tg x. Так
 как
                                   dx
                       d tg x =         ,
                                 cos2 x
 то, поделив числитель и знаменатель подынтегральной функ-
 ции на cos2 x и воспользовавшись соотношением

Страницы