Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6 Рациональные методы решения задач по матанализу
Ответы к варианту А
1. а) (arccos ln x)
2
ln x − 2
p
1 − ln
2
x arccos ln x − 2 ln x + C;
б)
1
2
tg
2
x − 2 tg x + 3 ln |1 + tg x|+ C.
2.
5
2
;
3
p
1 + 3x + x
2
= 1 + x −
2
3
x
2
+ x
3
+ o(x
3
),
ln(1 + sin x) = x −
x
2
2
+
x
3
6
+ o(x
3
),
tg(e
x
− 1) = x +
x
2
2
+
x
3
2
+ o(x
3
);
числитель:
5
6
x
3
+ o(x
3
); знаменатель:
x
3
3
+ o(x
3
).
3. а) Асимптоты: x = 2, y =
x
2
+ 2, график на рис. 1;
y
0
=
x
2
(x − 6)
2(x − 2)
3
, y
00
=
12x
(x − 2)
4
. б) Асимптоты: y = x + 2 (x →
→ +∞), y = −x − 2 (x → −∞); y
0
=
(x + 1) sgn x
x
2/3
(x + 3)
1/3
, x 6= 0;
y
00
=
−2 sgn x
x
5/3
(x + 3)
4/3
, x 6= 0, график на рис. 2.
x
y
0
y
=
x
2
+
2
x = 2
A
x
y
0
y = x + 2
y = −x −
2
B
A
A
6;
27
4
; O(0; 0) A(−1;
3
√
4); O(0; 0),
B(−3; 0)
Рис. 1 Рис. 2
4. а) y = −
√
2x −
x
2
√
2
+
3
√
2
x
3
+ o(x
3
); б) y = (t
2
− 1)
r
1 −
t
2
2
,
t = x − 1,
6         Рациональные методы решения задач по матанализу

                          Ответы к варианту А
                                   p
1. а) (arccos ln x)2 ln x − 2 1 − ln2 x arccos ln x − 2 ln x + C;
         1 2
   б)       tg x − 2 tg x + 3 ln |1 + tg x| + C.
         2
       5 p                                2
           ; 1 + 3x + x2 = 1 + x − x2 + x3 + o(x3 ),
              3
2.
       2                                  3
                           x2      x3
   ln(1 + sin x) = x −          +     + o(x3 ),
                            2      6
                         x2     x3
   tg(ex − 1) = x +          +      + o(x3 );
                         2       2
                    5                            x3
   числитель: x3 + o(x3 ); знаменатель:              + o(x3 ).
                    6                            3
                                       x
3. а) Асимптоты: x = 2, y = + 2, график на рис. 1;
                                       2
     0     x2 (x − 6) 00          12x
   y =                ,y =              . б) Асимптоты: y = x + 2 (x →
           2(x − 2)3           (x − 2)4
                                                    (x + 1) sgn x
   → +∞), y = −x − 2 (x → −∞); y 0 = 2/3                          , x 6= 0;
                                                  x (x + 3)1/3
                −2 sgn x
   y 00 = 5/3               , x 6= 0, график на рис. 2.
            x (x + 3)4/3

                                                          y
          y
                                          y
                                           =




                      A                               A
                                               −
               x=2




                                                x
                                                  −




                                2
                                                    2




                          x +
                     y   = 2              B               0          x
                                                  2
                                               +
                                              x
                                           =




          0                         x
                                         y




                                               √
           
         27                                    3
    A 6;      ; O(0; 0)                  A(−1; 4);             O(0; 0),
          4
                                         B(−3; 0)
                 Рис. 1                           Рис. 2

                                                r
             √   x2   3 3     3            2        t2
4. а) y = − 2x − √ + √ x + o(x ); б) y = (t − 1) 1 − ,
                  2    2                            2
  t = x − 1,

Страницы