Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 5
§ 1. Экзаменационная работа по
математическому анализу 1-го семестра
2002/2003 уч.г. для студентов 1-го курса
Вариант А
1. Вычислить интегралы
а) 3
Z
(arccos ln x)
2
x
dx; б) 4
Z
1 + tg
3
x
1 + sin 2x
dx.
2.5 Найти lim
x→0
3
√
1 + 3x + x
2
− ln(1 + sin x) − cos
x
√
3
tg(e
x
− 1) − sh x −
x
2
2
.
3. Построить графики функций
а) 4 y =
x
3
2(x − 2)
2
; б) 5 y =
3
p
|x|(x + 3)
2
.
4. Разложить по формуле Тейлора функцию
y =
x
2
2
− x
p
2 + 4x − 2x
2
а) 2 в окрестности x
0
= 0 до o(x
3
);
б) 4 в окрестности x
0
= 1 до o((x − 1)
2n+1
).
5.4 Указать все точки непрерывности и точки разрыва, устано-
вить тип разрывов функции f(x), определенной на
−
3π
2
;
5π
2
,
при этом f(x) =
|x|(π
2
− x
2
)
sin x
при x ∈
−
3π
2
;
5π
2
, x 6= kπ,
k = 0, ±1, 2; f(0) = f(2π) = π
2
, f(π) = 2π
2
, f(−π) = −2π
2
.
6.4 Найти в точке (1; 1) значение радиуса кривизны графика
функции y(x), заданной уравнением x
4
+ y
4
− 2xy = 0.
7.5 Найти lim
x→+0
x
ln(1 + x)
− sh
x
2
−
x
2
12

1
x
3
+ln
4
x
.
8.7 Построить кривую x =
(t + 1)
3
t
2
, y =
(t + 1)(2t + 1)
t
2
.
9.3 Установить, сходится или расходится последовательность
{x
n
}, x
n
> 0, n = 1, 2, . . . , если lim
n→∞
x
n
x
n+1
= 5.
            § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.                   5

         § 1. Экзаменационная работа по
     математическому анализу 1-го семестра
     2002/2003 уч.г. для студентов 1-го курса
                              Вариант А
1. Вычислить    интегралы
           (arccos ln x)2                            1 + tg3 x
        Z                                        Z
  а) 3                     dx;             б) 4                 dx.
                 x                                  1 + sin 2x
                        √3
                           1 + 3x + x2 − ln(1 + sin x) − cos √x3
2. 5 Найти         lim                                     2          .
                   x→0             tg(ex − 1) − sh x − x2
3. Построить графики функций
                x3                                p
  а) 4 y =             ;               б) 5 y = 3 |x|(x + 3)2 .
             2(x − 2)2
4. Разложить по формуле Тейлора функцию
                          2        p
                           x
                    y=         −x         2 + 4x − 2x2
                            2
  а) 2 в окрестности x0 = 0 до o(x3 );
  б) 4 в окрестности x0 = 1 до o((x − 1)2n+1 ).
5. 4 Указать все точки непрерывности и точки разрыва,               устано-
                                                                          
                                                                   3π 5π
  вить тип разрывов функции f (x), определенной на − ;                      ,
                                                                    2 2
                      |x|(π 2 − x2 )
                                                              
                                                       3π 5π
  при этом f (x) =                     при x ∈ − ;               , x 6= kπ,
                           sin x                        2 2
  k = 0, ±1, 2; f (0) = f (2π) = π 2 , f (π) = 2π 2 , f (−π) = −2π 2 .
6. 4 Найти в точке (1; 1) значение радиуса кривизны графика
  функции y(x), заданной уравнением x4 + y 4 − 2xy = 0.
                                                          13 +ln4 x
                                                x x2
                                             
                                 x                           x
7. 5 Найти          lim                  − sh     −                   .
                   x→+0 ln(1 + x)               2    12
                                    (t + 1)3          (t + 1)(2t + 1)
8. 7 Построить кривую x =                    , y=                       .
                                        t2                   t2
9. 3 Установить, сходится или расходится последовательность
                                                xn
  {xn }, xn > 0, n = 1, 2, . . . , если lim           = 5.
                                          n→∞ xn+1

Страницы