Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 13
а) в окрестности x
0
= 0 до o(x
3
); б) в окрестности x
0
= 1 до
o((x −1)
2n+1
).
Р е ш е н и е. а) Так как первый множитель, входящий в
состав функции y(x), эквивалентен −x при x → 0, то второй
множитель надо разлагать до o(x
2
). Использовав биномиаль-
ное разложение для второго множителя, получим
y =
√
2
−x +
x
2
2
(1 + 2x − x
2
)
1
2
=
=
√
2
−x +
x
2
2
1 + x −
x
2
2
−
(2x)
2
8
+ o(x
2
)
=
=
√
2
−x −
x
2
2
+
3
2
x
3
+ o(x
3
)
.
б) y(x) =
(x − 1)
2
− 1
2
p
4 − 2(x − 1)
2
.
Сделаем замену переменной, положив t = x − 1. Тогда
y(x(t)) = (−1 + t
2
)
1 −
t
2
2
1
2
=
= (−1 + t
2
)
n
X
m=0
C
m
1
2
(−1)
m
2
m
t
2m
+ o(t
2n+1
)
!
=
= −1 +
n
X
m=1
C
m
1
2
(−1)
m+1
2
m
t
2m
+
n−1
X
m=0
C
m
1
2
(−1)
m
2
m
t
2(m+1)
+ o(t
2n+1
).
Заменив во второй сумме m + 1 на k, объединим обе суммы
y = −1 +
n
X
k=1
C
k
1
2
(−1)
k+1
2
k
+ C
k−1
1
2
(−1)
k−1
2
k−1
t
2k
+ o(t
2n+1
) =
= −1 +
n
X
k=1
(−1)
k−1
2
k
2C
k−1
1
2
+ C
k
1
2
(x − 1)
2k
+ o((x − 1)
2n+1
),
где
C
k
1
2
=
1
k!
1
2
1
2
− 1
. . .
1
2
− (k − 1)
=
=
1
2
, k = 1,
(−1)
k−1
(2k − 3)!!
k!2
k
, k = 2, 3, . . . ;
C
0
1
2
= 1.
            § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.                 13

  а) в окрестности x0 = 0 до o(x3 ); б) в окрестности x0 = 1 до
  o((x − 1)2n+1 ).
      Р е ш е н и е. а) Так как первый множитель, входящий в
  состав функции y(x), эквивалентен −x при x → 0, то второй
  множитель надо разлагать до o(x2 ). Использовав биномиаль-
  ное разложение для второго множителя, получим
    √           x2
                   
                                     1
y = 2 −x +            (1 + 2x − x2 ) 2 =
                2
           √            x2             x2    (2x)2
                                                        
        = 2 −x +               1+x−        −       + o(x2 ) =
                        2               2      8
                                       √           x2
                                                                  
                                                         3
                                     = 2 −x −         + x3 + o(x3 ) .
                                                   2     2
                         2
                (x − 1) − 1 p
      б) y(x) =                  4 − 2(x − 1)2 .
                       2
      Сделаем замену переменной, положив t = x − 1. Тогда
                              1
                            t2 2
                     
                   2
y(x(t)) = (−1 + t ) 1 −           =
                            2
                            n
                                                         !
                                        m
                           X       (−1)
          = (−1 + t2 )         Cm
                                1         t2m + o(t2n+1 ) =
                           m=0
                                2    2m
            n                         n−1
            X             (−1)m+1 2m X m (−1)m 2(m+1)
  = −1 +          Cm
                   1             t  +     C1    t     + o(t2n+1 ).
            m=1
                      2     2m        m=0
                                           2 2m

  Заменив во второй сумме m + 1 на k, объединим обе суммы
         n 
                  (−1)k+1              k−1
                                           
                              k−1 (−1)
         X
y = −1 +     C k1         + C 1              t2k + o(t2n+1 ) =
                2   2k        2     2k−1
          k=1
                n
                X (−1)k−1                   
     = −1 +                     2C k−1
                                   1   + C k1 (x − 1)2k + o((x − 1)2n+1 ),
                          2k       2       2
                k=1
  где
                                    
 k   1 1        1           1
C1 =              − 1 ...     − (k − 1) =
 2   k! 2       2           2
                          1
                      
                       ,
                                              k = 1,
                     = 2      k−1                                  C 01 = 1.
                       (−1)      (2k − 3)!!                         2
                                             , k = 2, 3, . . . ;
                      
                                k!2k

Страницы