Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 15
lim
x→−π
f(x) = −2π
2
= f(−π)
(можно было не применять правило Лопиталя, а сделать за-
мену переменной, положив t = π − x); x = ±π — точки непре-
рывности функции f(x).
x = 2π . lim
x→2π
f(x) = ∞; x = 2π — точка разрыва 2-го рода
функции f(x).
Ответ: x = 0 — точка разрыва 1-го рода,
x = 2π — точка разрыва 2-го рода; остальные точки интервала
−
3π
2
;
5π
2
— точки непрерывности функции f(x).
При решении задачи № 9 применяется теорема о существо-
вании у монотонной ограниченной последовательности конеч-
ного предела.
9. Установить, сходится или расходится последовательность
{x
n
}, x
n
> 0, n = 1, 2, . . . , если lim
n→∞
x
n
x
n+1
= 5.
Р е ш е н и е. Так как lim
n→∞
x
n+1
x
n
=
1
5
, то существует n
0
такое, что
0 <
x
n+1
x
n
6
2
5
< 1
при любом n > n
0
. Последовательность {x
n
} убывающая при
n > n
0
, по условию она ограничена снизу. Следовательно,
сходится.
Ответ: Сходится.
При построении графиков функций f(x) надо обратить вни-
мание на отыскание асимптот при x → ±∞. Их можно быстро
найти, если использовать разложение функции по степеням
1
x
при x > x
0
, x < −x
0
, x
0
> 0.
При вычислении производных от f(x) стоит производную
частного
p(x)
q(x)
находить, представляя
p
q
в виде p ·q
−1
— произ-
ведения двух сомножителей.
Заполнение таблицы упорядочивает сведения о функции f(x)
и является кратким обоснованием построения её графика.
3. Построить графики функций
а) y =
x
3
2(x −2)
2
; б) y =
3
p
|x|(x + 3)
2
.
          § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.         15

                      lim f (x) = −2π 2 = f (−π)
                   x→−π

  (можно было не применять правило Лопиталя, а сделать за-
  мену переменной, положив t = π − x); x = ±π — точки непре-
  рывности функции f (x).
     x = 2π . lim f (x) = ∞; x = 2π — точка разрыва 2-го рода
               x→2π
  функции f (x).
     Ответ: x = 0 — точка разрыва 1-го рода,
  x
   2π — точка
    =           разрыва 2-го рода; остальные точки интервала
      3π 5π
    − ;       — точки непрерывности функции f (x).
       2 2

   При решении задачи № 9 применяется теорема о существо-
вании у монотонной ограниченной последовательности конеч-
ного предела.
9. Установить, сходится или расходится последовательность
                                              xn
  {xn }, xn > 0, n = 1, 2, . . . , если lim        = 5.
                                        n→∞ xn+1
                                         xn+1    1
     Р е ш е н и е. Так как lim               = , то существует n0
                                    n→∞ xn       5
  такое, что
                                 xn+1    2
                         0<            6 <1
                                  xn     5
  при любом n > n0 . Последовательность {xn } убывающая при
  n > n0 , по условию она ограничена снизу. Следовательно,
  сходится.
     Ответ: Сходится.

   При построении графиков функций f (x) надо обратить вни-
мание на отыскание асимптот при x → ±∞. Их можно быстро
                                                           1
найти, если использовать разложение функции по степеням
                                                           x
при x > x0 , x < −x0 , x0 > 0.
   При вычислении производных от f (x) стоит производную
         p(x)                       p
частного       находить, представляя в виде p · q −1 — произ-
         q(x)                       q
ведения двух сомножителей.
   Заполнение таблицы упорядочивает сведения о функции f (x)
и является кратким обоснованием построения её графика.
3. Построить графики функций
            x3                     p
  а) y =         2
                   ;        б) y = 3 |x|(x + 3)2 .
         2(x − 2)

Страницы