Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18 Рациональные методы решения задач по матанализу
2) Исследование на асимптоты. Имеем
lim
t→0
x(t) = +∞, lim
t→±∞
x(t) = ±∞, lim
t→0
y(t) = +∞.
Вертикальных асимптот нет.
Для отыскания невертикальных асимптот находим
lim
t→0
y
x
= lim
t→0
2t + 1
(t + 1)
2
= 1,
lim
t→0
(y −x) = lim
t→0
(−(t + 1)) = −1,
lim
t→∞
y
x
= 0, lim
t→∞
(y −0 ·x) = 2,
y = x −1 — наклонная асимптота при t → 0, y = 2 — горизон-
тальная асимптота при t → ∞.
3) Вычисление x
0
(t).
x
0
(t) = ((t + 1)
3
t
−2
)
0
=
(t + 1)
2
(t − 2)
t
3
.
Указываем интервалы E
k
изменения t, на которых сохраняется
знак производной x
0
(t), а y(t) непрерывна:
E
1
= (−∞; 0), E
2
= (0; 2), E
3
= (2; +∞).
Вычисление y
0
(t), Y
0
(x), Y
00
(x).
y
0
(t) =

1 +
1
t
2 +
1
t

0
= −3
t +
2
3
t
3
,
Y
0
(x) =
y
0
(t)
x
0
(t)
= −3
t +
2
3
(t + 1)
2
(t − 2)
;
Y
00
(x) =
y
0
(t)
x
0
(t)
0
1
x
0
(t)
=
6t
5
(t + 1)
5
(t − 2)
3
,
так как
y
0
(t)
x
0
(t)
0
= −((3t + 2)(t + 1)
−2
(t − 2)
−1
)
0
=
=
6t
2
(t + 1)
3
(t − 2)
2
.
4) Заполнение таблицы. Вначале заполняем графу с
x
0
(t), потом с x(t). Аналогично — с y
0
(t) и y(t).
При заполнении графы с Y
0
(x) стоит обратить внимание
на то, что знак функции Y
0
(x) легко определяется, как знак
отношения y
0
(t) к x
0
(t).
18         Рациональные методы решения задач по матанализу

        2) Исследование на асимптоты. Имеем
         lim x(t) = +∞,        lim x(t) = ±∞,          lim y(t) = +∞.
         t→0                   t→±∞                    t→0
     Вертикальных асимптот нет.
        Для отыскания невертикальных асимптот находим
                          y         2t + 1
                      lim = lim            = 1,
                      t→0 x   t→0 (t + 1)2

                 lim (y − x) = lim (−(t + 1)) = −1,
                    t→0            t→0
                        y
                    lim   = 0, lim (y − 0 · x) = 2,
                   t→∞ x       t→∞
     y = x − 1 — наклонная асимптота при t → 0, y = 2 — горизон-
     тальная асимптота при t → ∞.
        3) Вычисление x0 (t).
                                         (t + 1)2 (t − 2)
                 x0 (t) = ((t + 1)3 t−2 )0 =              .
                                                t3
     Указываем интервалы Ek изменения t, на которых сохраняется
     знак производной x0 (t), а y(t) непрерывна:
               E1 = (−∞; 0),     E2 = (0; 2),       E3 = (2; +∞).
                          0        0           00
        Вычисление y (t), Y (x), Y (x).
                                     0
                                             t+ 2
                            
                            1      1
            y 0 (t) =    1+     2+       = −3 3 3 ,
                            t      t          t
                                  y 0 (t)           t + 23
                   Y 0 (x) =              = −3                  ;
                                 x0 (t)        (t + 1)2 (t − 2)
                               0 0
                               y (t)        1             6t5
                 Y 00 (x) =                    =                    ,
                               x0 (t) x0 (t)      (t + 1)5 (t − 2)3
                    0 0
                     y (t)
     так как                    = −((3t + 2)(t + 1)−2 (t − 2)−1 )0 =
                     x0 (t)
               6t2
     =                      .
         (t + 1)3 (t − 2)2
          4) Заполнение таблицы. Вначале заполняем графу с
     x0 (t), потом с x(t). Аналогично — с y 0 (t) и y(t).
          При заполнении графы с Y 0 (x) стоит обратить внимание
     на то, что знак функции Y 0 (x) легко определяется, как знак
     отношения y 0 (t) к x0 (t).

Страницы