Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 25
3. Построить графики функций
а) y =
(x −1)
7
x
6
; б) y =
3
p
(1 −x)(x + 2)
2
.
Р е ш е н и е. а) Область определения
(−∞; 0) ∪ (0; +∞);
x = 0 — вертикальная асимптота;
y = x
1 −
1
x
7
= x
1 −
7
x
+ o
1
x

= x − 7 + o(1) при
x → ∞,
y = x − 7 — наклонная асимптота при x → ∞;
y
0
= ((x − 1)
7
x
−6
)
0
=
(x − 1)
6
x
7
(x + 6) ,
y
00
= ((x − 1)
6
(x + 6)x
−7
)
0
= 42
(x − 1)
5
x
8
.
График y(x) см. на рис. 4 на с. 22.
x −6 0 1
y % −γ
2
& % 0 %
y
0
+ 0 − + 0 +
y
00
− − − − 0 +
max точка
перегиба
γ
2
= 7
7
6
6
б) Область определения (−∞; +∞);
y = −x
1 −
1
x
1
3
1 +
2
x
2
3
=
= −x
1 −
1
3x
+ o
1
x

1 +
4
3x
+ o
1
x

=
= −x − 1 + o(1), x → ∞,
y = −x − 1 — наклонная асимптота при x → ∞;
y
0
=
−(x + 2)
2
3
(x − 1)
1
3
0
=
−x
(x + 2)
1/3
(x − 1)
2/3
,
y
00
= −
x(x + 2)
−
1
3
(x − 1)
−
2
3
0
=
2
(x + 2)
4/3
(x − 1)
5/3
.
График y(x) см. на рис. 5 на с. 22.
           § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.              25

3. Построить графики функций
         (x − 1)7                   p
  а) y =     6
                  ;          б) y = 3 (1 − x)(x + 2)2 .
            x
     Р е ш е н и е. а) Область определения
                        (−∞; 0) ∪ (0; +∞);
     x = 0 — вертикальная асимптота;
                    7                   
                   1                7       1
     y = x 1−            = x 1− +o                = x − 7 + o(1) при
                   x                x       x
  x → ∞,
     y = x − 7 — наклонная асимптота при x → ∞;
                               (x − 1)6
     y 0 = ((x − 1)7 x−6 )0 =           (x + 6) ,
                                  x7
                                    (x − 1)5
     y 00 = ((x − 1)6 (x + 6)x−7 )0 = 42     .
                                       x8
     График y(x) см. на рис. 4 на с. 22.
       x     −6      0         1
               2                                    6
       y % −γ &        %       0      %        2    7
                                              γ =7
      y0 + 0 −         +       0       +            6
      y 00 − − −       −       0       +
             max             точка
                           перегиба
     б) Область определения (−∞; +∞);

               13     2
           1           2 3
y = −x 1 −         1+       =
           x           x
                                     
                     1      1       4      1
           = −x 1 −    +o       1+    +o        =
                    3x      x      3x      x
                                  = −x − 1 + o(1), x → ∞,
     y = −x − 1 — наклонная асимптота при x → ∞;
                   2         1
                                0            −x
     y 0 = −(x + 2) 3 (x − 1) 3 =                           ,
                                      (x + 2) (x − 1)2/3
                                             1/3

                        1         2
                                     0             2
     y 00 = − x(x + 2)− 3 (x − 1)− 3 =                           .
                                           (x + 2)4/3 (x − 1)5/3
     График y(x) см. на рис. 5 на с. 22.

Страницы