Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26 Рациональные методы решения задач по матанализу
x −2 0 1
y & 0 %
3
√
4 & 0 &
y
0
− −∞+∞ + 0 − −∞ −
y
00
−
/
∃ − − −
/
∃ +
min max точка
перегиба
4. Разложить по формуле Тейлора функцию
y =
x
2
2
+ 2x − 3
e
−x
2
−4x
а) в окрестности x
0
= 0 до o(x
2
); б) в окрестности x
0
= −2 до
o((x + 2)
2n+1
).
Р е ш е н и е.
а) y =
x
2
2
+ 2x − 3
1 − x
2
− 4x +
16x
2
2
+ o(x
2
)
= −3 +
+ 14x −
57
2
x
2
+ o(x
2
).
б) y =
(x + 2)
2
− 10
2
e
−(x+2)
2
+4
.
Сделаем замену переменной, положив t = x + 2. Тогда
y(x(t)) =
1
2
(t
2
− 10)e
4−t
2
=
= e
4
1
2
t
2
− 5
n
X
l=0
1
l!
(−t
2
)
l
+ o(t
2n+1
)
!
=
=
1
2
e
4
n−1
X
l=0
(−1)
l
l!
t
2(l+1)
+ 5e
4
n
X
l=0
1
l!
(−1)
l+1
t
2l
+ o(t
2n+1
).
Заменив в первой сумме l + 1 на k, объединим обе суммы,
при этом первое слагаемое из второй суммы выпишем от-
дельно. Получим
y(x(t)) = −5e
4
+
n
X
k=1
(−1)
k−1
e
4
5
k!
+
1
(k − 1)!2
t
2k
+ o(t
2n+1
).
Ответ: а) y = −3 + 14x −
57x
2
2
+ o(x
2
);
б) y = −5e
4
+
n
X
k=1
(−1)
k−1
e
4
5
k!
+
1
(k − 1)!2
(x + 2)
2k
+
26       Рациональные методы решения задач по матанализу

            x      −2     0                         1
                         √3
             y &    0  %    4 &                     0     &
               0
            y − −∞+∞ + 0 −                         −∞     −
            y 00 −  /
                    ∃  − − −                        /
                                                    ∃     +
                   min   max                    точка
                                               перегиба
4. Разложить по формуле Тейлора функцию
                     2          
                      x              2
                 y=      + 2x − 3 e−x −4x
                      2
  а) в окрестности x0 = 0 до o(x2 ); б) в окрестности x0 = −2 до
  o((x + 2)2n+1 ).
      Р е ше н и е.
               x2                                16x2
                                                             
                                       2                     2
  а) y =            + 2x − 3     1 − x − 4x +          + o(x ) = −3 +
                2                                  2
            57
  + 14x − x2 + o(x2 ).
             2
               (x + 2)2 − 10 −(x+2)2 +4
      б) y =                   e           .
                       2
      Сделаем замену переменной, положив t = x + 2. Тогда
           1                2
y(x(t)) = (t2 − 10)e4−t =
           2                                               !
                              X  n
                  4   1 2             1      2 l     2n+1
             =e         t −5             (−t ) + o(t      ) =
                      2               l!
                                   l=0
                     n−1       l              n
               1 4   X     (−1) 2(l+1)       X1
           =     e              t      + 5e4     (−1)l+1 t2l + o(t2n+1 ).
               2             l!               l!
                     l=0                     l=0
     Заменив в первой сумме l + 1 на k, объединим обе суммы,
  при этом первое слагаемое из второй суммы выпишем от-
  дельно. Получим
                  n                          
                  X              5      1
 y(x(t)) = −5e4 +   (−1)k−1 e4     +            t2k + o(t2n+1 ).
                                 k! (k − 1)!2
                      k=1

                               57x2
     Ответ: а) y = −3 + 14x −       + o(x2 );
                                 2
                   n                          
               4
                  X
                         k−1 4    5       1
     б) y = −5e +    (−1)   e       +            (x + 2)2k +
                                  k! (k − 1)!2
                       k=1

Страницы