Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

24 Рациональные методы решения задач по матанализу
где t =
p
x
2
+ 1.
Ответ:
1
3
(1 + x
2
)
3/2
− 2(1 + x
2
)
1/2
−
1
(1 + x
2
)
1/2
+ C.
2. Найти lim
x→0
e
x
√
1+2x
− cos(x − x
2
) − 2x
2
arcsin x
!
ctg
2
x
.
Р е ш е н и е. Обозначим через u отношение, стоящее в
скобках, и положим
v = ctg
2
x =
1
tg
2
x
.
Найдём lim
x→0
(v ln u).
Так как tg
2
x = x
2
+ o(x
2
), то функцию ln u надо разлагать
до o(x
2
). Для этого функции, входящие в состав числителя и
знаменателя дроби, которую обозначили через u, будем разла-
гать до o(x
3
).
x
√
1 + 2x = x
1 + x +
1
2
1
2
− 1
1
2!
(2x)
2
+ o(x
2
)
=
= x + x
2
−
x
3
2
+ o(x
3
),
e
x
√
1+2x
= e
x+x
2
−
x
3
2
+o(x
3
)
= 1 + x +
3
2
x
2
+
2
3
x
3
+ o(x
3
),
cos(x − x
2
) = 1 −
(x − x
2
)
2
2
+ o(x
3
) = 1 −
x
2
2
+ x
3
+ o(x
3
),
arcsin x = x +
x
3
6
+ o(x
4
),
u =
x −
x
3
3
+ o(x
3
)
x +
x
3
6
+ o(x
4
)
=
=
1 −
x
2
3
+ o(x
2
)
1 +
x
2
6
+ o(x
3
)
−1
= 1 −
x
2
2
+ o(x
2
);
lim
x→0
(v ln u) = lim
x→0
ln
1 −
x
2
2
+ o(x
2
)
x
2
+ o(x
2
)
= −
1
2
,
lim
x→0
u
v
= e
lim
x→0
(v ln u)
= e
−
1
2
.
Ответ: e
−
1
2
.
24         Рациональные методы решения задач по матанализу
         p
     где t =x2 + 1.
              1                                  1
     Ответ: (1 + x2 )3/2 − 2(1 + x2 )1/2 −               + C.
              3                             (1 + x2 )1/2
                          √                         !ctg2 x
                       ex 1+2x − cos(x − x2 ) − 2x2
2. Найти         lim                                        .
                 x→0             arcsin x
     Р е ш е н и е. Обозначим через u отношение, стоящее в
  скобках, и положим
                                      1
                       v = ctg2 x = 2 .
                                    tg x
     Найдём lim (v ln u).
                x→0
      Так как tg2 x = x2 + o(x2 ), то функцию ln u надо разлагать
  до o(x2 ). Для этого функции, входящие в состав числителя и
  знаменателя дроби, которую обозначили через u, будем разла-
  гать до o(x3 ).
 √
                                                           
                            1 1           1
x 1 + 2x = x 1 + x +               −1        (2x)2 + o(x2 ) =
                            2 2          2!
                                                                  x3
                                                     = x + x2 −       + o(x3 ),
                                                                   2
        √               2  x3      3               3        2
      ex 1+2x = ex+x − 2 +o(x ) = 1 + x + x2 + x3 + o(x3 ),
                                                   2        3
                                 2 2                      2
                          (x −  x  )                     x
    cos(x − x2 ) = 1 −                + o(x3 ) = 1 −         + x3 + o(x3 ),
                               2                         2
                                         x3
                        arcsin x = x +         + o(x4 ),
                                           6
           3
     x − x3 + o(x3 )
u=         3           =
     x + x6 + o(x4 )
                                                     −1
                  x2                    x2                        x2
                             
        = 1−          + o(x2 )     1+        + o(x3 )       =1−       + o(x2 );
                  3                     6                          2
                                             2
                                                         
                                  ln 1 − x2 + o(x2 )            1
             lim (v ln u) = lim          2        2
                                                            =− ,
             x→0             x→0       x + o(x )                2
                                       lim (v ln u)        1
                             lim uv = ex→0            = e− 2 .
                             x→0
                  − 12
        Ответ: e         .

Страницы