Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 Рациональные методы решения задач по матанализу
lim
x→−
π
2
f(x) = −8 = f
−
π
2
,
x = −
π
2
— точка непрерывности функции f(x).
x =
3π
2
: lim
x→
3π
2
f(x) = ∞, x =
3π
2
— точка разрыва 2-го
рода функции f (x).
Ответ: x = 0 — точка разрыва 1-го рода, x =
3π
2
—
точка разрыва 2-го рода; остальные точки интервала (−π; 2π)
— точки непрерывности функции f(x).
6. Найти в точке (−1; −1) значение радиуса кривизны графика
функции y(x), заданной уравнением x
3
+ y
3
= 1 + 3y
2
x.
Р е ш е н и е. Дифференцируя дважды тождество
x
3
+ y
3
(x) − 3xy
2
(x) − 1 ≡ 0
и пользуясь тем, что y(−1) = −1, получаем
y
0
(−1) = 0, y
00
(−1) = −2.
По формуле R =
1
K
, где K =
|y
00
|
(1 + y
02
)
3/2
, вычисляем в точке
(−1; −1) значение радиуса кривизны R =
1
2
.
Ответ:
1
2
.
7. Найти lim
x→+∞
h
3
p
x
3
− 3x
2
− x + e
1
x
· ln
2
sh x
i
.
Р е ш е н и е. Найдём для функции ln
2
sh x эквивалентную
ей при x → +∞ степенную функцию.
ln sh x = ln
[e
x
(1 − e
−2x
)]
2
= x − ln 2 + o(1) = x(1 + o(1)),
ln
2
sh x = x
2
(1 + o(1)) при x → +∞.
Разлагаем при достаточно больших x по степеням
1
x
до o
1
x
2
функцию
ϕ(x) =
3
p
x
3
− 3x
2
− x + e
1
x
.
Получаем
28         Рациональные методы решения задач по матанализу
                                           π
                       limπ f (x) = −8 = f −   ,
                      x→− 2                  2
        π
     x=−  — точка непрерывности функции f (x).
        2
          3π                          3π
      x=       : lim3π f (x) = ∞, x =    — точка разрыва 2-го
           2     x→ 2                  2
  рода функции f (x).
                                                        3π
     Ответ: x = 0 — точка разрыва 1-го рода, x =           —
                                                         2
  точка разрыва 2-го рода; остальные точки интервала (−π; 2π)
  — точки непрерывности функции f (x).
6. Найти в точке (−1; −1) значение радиуса кривизны графика
  функции y(x), заданной уравнением x3 + y 3 = 1 + 3y 2 x.
     Р е ш е н и е. Дифференцируя дважды тождество
                      x3 + y 3 (x) − 3xy 2 (x) − 1 ≡ 0
     и пользуясь тем, что y(−1) = −1, получаем
                       y 0 (−1) = 0,   y 00 (−1) = −2.
                    1                 |y 00 |
     По формуле R =   , где K =                  , вычисляем в точке
                    K             (1 + y 02 )3/2
                                                 1
  (−1; −1) значение радиуса кривизны R = .
                                                 2
              1
     Ответ: .
              2         h p                              i
                                                 1
                             x3 − 3x2 − x + e x · ln2 sh x .
                           3
7. Найти          lim
                      x→+∞
        Р е ш е н и е. Найдём для функции ln2 sh x эквивалентную
     ей при x → +∞ степенную функцию.
                  [ex (1 − e−2x )]
       ln sh x = ln                = x − ln 2 + o(1) = x(1 + o(1)),
                          2
                ln2 sh x = x2 (1 + o(1)) при x → +∞.
                                                                  
                                                           1        1
     Разлагаем при достаточно больших x по степеням до o
                                                           x        x2
     функцию
                                                  1
                             p3
                      ϕ(x) = x3 − 3x2 − x + e x .
     Получаем

Страницы