Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30 Рациональные методы решения задач по матанализу
знак производной x
0
(t), а y(t) непрерывна:
E
1
= (−∞; −1), E
2
= (−1; 0), E
3
= (0; 1), E
4
= (1; +∞).
Вычисление y
0
(t), Y
0
(x), Y
00
(x).
y
0
(t) = 1 −
1
(t + 1)
2
=
t(t + 2)
(t + 1)
2
, Y
0
(x) =
y
0
(t)
x
0
(t)
= −
1
2
(t + 2)(t −1)
2
;
Y
00
(x) =
y
0
(t)
x
0
(t)
0
1
x
0
(t)
=
3
4
(t
2
− 1)
3
t
=
3
4
(t + 1)
3
(t − 1)
3
t
,
так как
y
0
(t)
x
0
(t)
0
= −
1
2
[(t + 2)(t − 1)
2
]
0
= −
3
2
(t
2
− 1).
4) Заполнение таблицы.
E
1
E
2
E
3
E
4
t −∞ −2 −1−0 −1+0 0 0 1−0 1+0 +∞
x(t) 1 + 0 %
4
3
% +∞ −∞ % 0 0 & −∞ +∞ &1 + 0
x
0
(t) + + + + 0 0 − −
y(t) −∞ %−2 & −∞ +∞ & 2 2 %
5
2
−0
5
2
+0 % +∞
y
0
(t) + 0 − − 0 0 + +
Y
0
(x) + 0 − − −1 −1 − −
Y
00
(x) − − − +
/
∃
/
∃ − +
5) Построение кривой см. рис. 6 на с. 23.
t = 0, A(0; 2) — точка возврата, tg α
кас
= −1;
t = −2, B
4
3
; −2
, x =
4
3
— точка максимума Y (x).
9. Установить, сходится или расходится последовательность
{x
n
}, x
n
> 0, n = 1, 2, . . . , ес ли lim
n→∞
x
n+1
x
n
2
= 4.
Р е ш е н и е. lim
n→∞
x
n+1
x
n
= 2,
x
n+1
x
n
>
3
2
> 1 при n > n
0
.
Последовательность {x
n
} строго возрастающая при n > n
0
.
По условию x
n
> 0, n = 1, 2, . . .
Если бы последовательность {x
n
} была ограничена сверху,
то существовал бы конечный предел
lim
n→∞
x
n
= C > 0, lim
n→∞
x
n+1
x
n
=
C
C
= 1,
30          Рациональные методы решения задач по матанализу

     знак производной x0 (t), а y(t) непрерывна:
     E1 = (−∞; −1),         E2 = (−1; 0),        E3 = (0; 1),   E4 = (1; +∞).
                        0        0          00
     Вычисление y (t), Y (x), Y (x).
                    1         t(t + 2)              y 0 (t)      1
y 0 (t) = 1 −           2
                            =        2
                                       , Y 0 (x) = 0         = − (t + 2)(t − 1)2 ;
                (t + 1)       (t + 1)               x (t)        2
                    0 0                    2    3
                     y (t)       1       3 (t − 1)        3 (t + 1)3 (t − 1)3
       Y 00 (x) =                    =              =                         ,
                     x0 (t) x0 (t)       4     t          4         t
                       0 0
                        y (t)          1                          3
        так как           0
                                  = − [(t + 2)(t − 1)2 ]0 = − (t2 − 1).
                        x (t)          2                          2
        4) Заполнение таблицы.
               E1         E2        E3        E4
      t   −∞   −2 −1−0 −1+0    0 0    1−0 1+0    +∞
                4
  x(t) 1 + 0 % 3 % +∞ −∞ % 0 0 & −∞ +∞ & 1 + 0
  x0 (t)     + + +          + 0 0 −           −
  y(t) −∞ % −2 & −∞ +∞ & 2 2 % 52 −0 52 +0 % +∞
  y 0 (t)    + 0 −          − 0 0 +           +
    0
 Y (x)       + 0 −          − −1 −1 −         −
 Y 00 (x)    − − −            / ∃
                            + ∃  / −          +


     5) Построение кривой см. рис. 6 на с. 23.
     t = 0, A(0;2) — точка
                                возврата, tg αкас = −1;
                  4                 4
     t = −2, B      ; −2 , x = — точка максимума Y (x).
                  3                 3
9. Установить, сходится или расходится последовательность
                                                   2
                                               xn+1
  {xn }, xn > 0, n = 1, 2, . . . , если lim            = 4.
                                         n→∞    xn
                             xn+1          xn+1     3
     Р е ш е н и е. lim               = 2,       >    > 1 при n > n0 .
                       n→∞ xn               xn      2
  Последовательность {xn } строго возрастающая при n > n0 .
  По условию xn > 0, n = 1, 2, . . .
     Если бы последовательность {xn } была ограничена сверху,
  то существовал бы конечный предел
                                           xn+1    C
              lim xn = C > 0,          lim      =     = 1,
             n→∞                      n→∞ xn       C

Страницы