Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

32 Рациональные методы решения задач по матанализу
{x
n
}, x
n
> 0, n = 1, 2, . . . , ес ли lim
n→∞
x
n
x
n+1
=
1
5
.
Ответы к варианту И
1. а) −
1
2
e
−2x
arcctg e
2x
+
1
4
ln(1+e
−4x
)+C = −
1
2
e
−2x
arcctg e
2x
+
+
1
4
ln(1 + e
4x
) − x + C;
б) −
1
2
ln |1 + tg x|−
1
2
ln |cos x|+
1
2
x + C = −
1
2
ln |cos x + sin x|+
+
x
2
+ C.
2. −
8
3
; cos (x
√
1 + x) = 1 −
1
2
x
2
−
1
2
x
3
+ o(x
3
);
e
tg x
= 1 + x +
x
2
2
+
x
3
2
+ o(x
3
); ln(1 + x + x
2
) = x +
x
2
2
−
2
3
x
3
+
+ o(x
3
); числитель: −
4
3
x
3
+ o(x
3
); знаменатель:
x
3
2
+ o(x
3
).
3. а) Асимптоты: x = 1, y = −x + 6; график на рис. 7;
y
0
= −
(x − 2)
4
(x + 3)
(x − 1)
5
, y
00
= −20
(x − 2)
3
(x − 1)
6
.
б) Функция четная. При x > 0: y
0
= −
x − 4
x
1/3
(x − 6)
2/3
, y
00
=
=
8
x
4/3
(x − 6)
5/3
;
Асимптоты: y = −x + 2 (x → +∞), y = x + 2 (x → −∞);
график на рис. 8.
x
y
0
y =−
x
+6
x=1
A
B
x
y
0
y =
−x
+2
y =x+2
A
0
A
B
0
B
A
−3;
5
5
4
4
, B(2; 0). O(0; 0), A(4; 2
3
√
4), A
0
(−4; 2
3
√
4), B(6; 0),
B
0
(−6; 0).
Рис. 7 Рис. 8
32               Рациональные методы решения задач по матанализу

                                               xn        1
     {xn }, xn > 0, n = 1, 2, . . . , если lim       = .
                                              xn+1
                                               n→∞       5
                       Ответы к варианту И
          1                    1                         1
1. а) − e−2x arcctg e2x + ln(1+e−4x )+C = − e−2x arcctg e2x +
          2                    4                         2
     1
  + ln(1 + e4x ) − x + C;
     4
         1               1               1             1
  б) − ln |1 + tg x| − ln | cos x| + x + C = − ln | cos x + sin x| +
         2               2               2             2
     x
  + + C.
     2
       8        √                  1      1
2. − ; cos(x 1 + x) = 1 − x2 − x3 + o(x3 );
       3                           2      2
                    2      3
                   x     x                                      x2 2 3
  etg x = 1 + x +      +     + o(x3 ); ln(1 + x + x2 ) = x +       − x +
                   2      2                                     2     3
                                                              3
         3                   4 3        3                   x
  + o(x ); числитель: − x + o(x ); знаменатель:                  + o(x3 ).
                             3                               2
3. а) Асимптоты: x = 1, y = −x + 6; график на рис. 7;
              (x − 2)4 (x + 3) 00           (x − 2)3
      y0 = −                    , y  = −20           .
                 (x − 1)5                   (x − 1)6
                                                           x−4
  б) Функция четная. При x > 0: y 0 = − 1/3                          , y 00 =
                                                   x (x − 6)2/3
            8
  = 4/3              ;
     x (x − 6)5/3
      Асимптоты: y = −x + 2 (x → +∞), y = x + 2 (x → −∞);
  график на рис. 8.

             y
                                                     y
                                          A0                   A
       A
y=
  −
   x+
         6




                                  B0                                   B
                                                     0                     x
                    B
                                                               y=
                                       2
                                     x+




                                                                 −




             0              x
                                                                  x+
                  x=1




                                   y=




                                                                    2




     55                                        √             √
       
                                O(0; 0), A(4; 2 4), A0 (−4; 2 4), B(6; 0),
                                               3             3
A −3; 4 , B(2; 0).
     4                           0
                                B (−6; 0).
                 Рис. 7                          Рис. 8

Страницы