Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 33
4. а) y = x −x
2
−
15
8
x
3
+ o(x
3
); б) y = −1 +
3
8
(x + 1)+
+
n
X
k=2
(−1)
k
3
k
4
k
16
9
C
k−2
1/2
− C
k
1/2
(x + 1)
k
+ o((x + 1)
n
).
5. x =
π
2
— точка разрыва 1-го рода, x =
3π
2
— точка разрыва
2-го рода; остальные точки интервала (−π; 2π) — точки непре-
рывности.
6. R =
5
√
2
3
(y
0
= 1, y
00
= −
6
5
).
7. e
1/30
; e
x ctg x−1
= 1 −
x
2
3
+
x
4
30
+ o(x
4
).
8. Асимптоты: y = −4 (t → −1 ± 0), x = 0 (t → ±∞), y = x − 1
(t → ±0); x
0
t
= −
2(t + 1/2)
(t + 1)
2
t
2
, y
0
t
=
t
2
− 1
t
2
, y
0
x
= −
(t + 1)
3
(t − 1)
2(t + 1/2)
,
y
00
xx
=
6t
4
(t + 1)
4
(2t + 1)
3
, кривая на рис. 9.
x
y
0
t→−∞
t→+∞
t→−1+0
t→−1−0
t
→−
0
t→+0
y = x
−
1
y = −4
A
B
A
1
2
; 0
(t = 1), B
−4; −
9
2
t = −
1
2
.
В точке B касательная вертикальна.
Рис. 9
9. Расходится.
           § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.                  33

                   15                      3
4. а) y = x − x2 − x3 + o(x3 ); б) y = −1 + (x + 1)+
     n       k
                8                        8
           k3    16 k−2
    X
  +    (−1) k       C      k
                        − C1/2 (x + 1) + o((x + 1)n ).
                                       k
            4     9 1/2
    k=2
        π                                           3π
5. x =     — точка разрыва 1-го рода, x =              — точка разрыва
        2                                            2
  2-го рода; остальные точки интервала (−π; 2π) — точки непре-
  рывности.
          √
        5 2 0                     6
6. R =         (y = 1, y 00 = − ).
          3                       5
                                2
                              x       x4
7. e1/30 ; ex ctg x−1 = 1 −        +     + o(x4 ).
                               3      30
8. Асимптоты: y = −4 (t → −1 ± 0), x = 0 (t → ±∞), y = x − 1
                       2(t + 1/2) 0       t2 − 1 0        (t + 1)3 (t − 1)
  (t → ±0); x0t = −           2  2
                                   , yt =     2
                                                 , yx = −                  ,
                       (t + 1) t            t                2(t + 1/2)
   00    6t4 (t + 1)4
  yxx =               , кривая на рис. 9.
          (2t + 1)3
                                        y
                                               t→+∞



                                                           0
                                                         +
                                                       t→


                                                               1
                                                             −
                                                           x




                                               A
                                                        =
                                                       y




                                        0                      x


                    t→−1+0                y = −4
                                        t→−∞




                             B                        t→−1−0
                                  0
                                 −
                             t→




                                            
               1                      9        1
            A    ; 0 (t = 1), B −4; −      t=− .
               2                      2        2
            В точке B касательная вертикальна.
                              Рис. 9

9. Расходится.

Страницы