Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 35
Ответы к варианту О
1. а) sin x · ln(1 + sin
2
x) − 2 sin x + 2 arctg(sin x) + C;
б)
2
3(1 −x
3
)
1/2
+
4
3
(1 −x
3
)
1/2
−
2
9
(1 −x
3
)
3/2
+ C.
2. e
7/4
;
3
p
1 + 3x − x
2
= 1 + x −
4
3
x
2
+
7
3
x
3
+ o(x
3
).
3. а) Асимптоты: x = 0, y = −x − 5; график на рис. 10;
y
0
= −
(x + 2)
2
(x −4)
x
3
, y
00
=
−24(x + 2)
x
4
.
б) Асимптота: y = 2x + 1; y
0
=
2x
(x + 1)
1/3
(x −1/2)
2/3
,
y
00
= −
1
(x + 1)
4/3
(x −1/2)
5/3
, график на рис. 11.
x
y
0
y =
−
x−5
A
B
x
y
0
y
=2
x+1
A
B
C
A
4;
−25
2
, B(−2; 1) A(0; −2
2/3
), B
1
2
; 0
,
C(−1; 0)
Рис. 10 Рис. 11
4. а) y = e
6
(−6x + 13x
2
−14x
3
) + o(x
3
); б) y = −9 + 18(x −3) +
+
n
X
k=2
(−1)
k
2
k
1
4(k − 2)!
−
9
k!
(x −3)
k
+ o((x − 3)
n
).
5. x = 0 — точка разрыва 1- го рода, x = π — точка разрыва
2-го рода; остальные точки интервала
−
π
2
;
3π
2
— точки не-
прерывности.
6. R =
5
2
(y
0
= 0, y
00
= −
2
5
).
          § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.                    35

                           Ответы к варианту О
1. а)      sin x · ln(1 + sin2 x) − 2 sin x + 2 arctg(sin x) + C;
              2          4             2
  б)                 + (1 − x3 )1/2 − (1 − x3 )3/2 + C.
       3(1 − x3 )1/2     3             9
            p                        4      7
2. e7/4 ; 1 + 3x − x2 = 1 + x − x2 + x3 + o(x3 ).
             3

                                     3      3
3. а) Асимптоты: x = 0, y = −x − 5; график на рис. 10;
          (x + 2)2 (x − 4) 00    −24(x + 2)
  y0 = −                   ,y =              .
                 x3                  x4
                                                    2x
       б) Асимптота: y = 2x + 1; y 0 =                        ,
                                         (x + 1) (x − 1/2)2/3
                                                1/3
                       1
  y 00 = −                       , график на рис. 11.
           (x + 1) (x − 1/2)5/3
                   4/3



                                                         y
                   y
              B
                   0                x

                                                   C         B
                           y=




                                                         0           x
                             −
                              x−
                                5




                             A                           A
                                                    +1
                                                  2x
                                              y=




                                                                  
             −25                               2/3               1
        A 4;               , B(−2; 1)   A(0; −2      ), B          ;0 ,
              2                                                  2
                                        C(−1; 0)
                  Рис. 10                      Рис. 11


4. а) y = e6 (−6x + 13x2 − 14x3 ) + o(x3 ); б) y = −9 + 18(x − 3) +
     n                        
    X
           k k       1       9
  +    (−1) 2             −       (x − 3)k + o((x − 3)n ).
                 4(k − 2)! k!
    k=2
5. x = 0 — точка разрыва 1-го рода, x = π — точка
                                                  разрыва
                                         π 3π
  2-го рода; остальные точки интервала − ;      — точки не-
                                         2 2
  прерывности.
        5                2
6. R = (y 0 = 0, y 00 = − ).
        2                5

Страницы