Рациональные методы решения задач по матанализу. Коваленко Л.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г. 29
3
p
x
3
− 3x
2
− x = x
3
r
1 −
3
x
− 1
!
= −1 −
1
x
−
5
3
1
x
2
+ o
1
x
2
,
e
1
x
= 1 +
1
x
+
1
2
1
x
2
+ o
1
x
2
, ϕ(x) = −
7
6
1
x
2
+ o
1
x
2
.
Тогда
lim
x→+∞
(ϕ(x) ln
2
sh x) = lim
x→+∞
−
7
6
1
x
2
+ o
1
x
2

x
2
= −
7
6
.
Ответ: −
7
6
.
8. Построить кривую x =
t
2
t
2
− 1
, y = t + 1 +
1
t + 1
.
Р е ш е н и е. 1) Область определения
x(t) : (−∞; −1) ∪(−1; 1) ∪(1; +∞),
y(t) : (−∞; −1) ∪(−1; +∞).
2) Исследование на асимптоты.
x → ∞ при t → ±1, y → ∞ при t → −1, t → ∞;
x = 1 — вертикальная асимптота, так как
lim
t→∞
x(t) = 1, lim
t→∞
y(t) = ∞;
y =
5
2
— горизонтальная асимптота, так как
lim
t→1
x(t) = ∞, lim
t→1
y(t) =
5
2
;
Для отыскания невертикальной асимптоты y = kx + b при
t → −1 находим
k = lim
t→−1
y
x
= lim
t→−1
(t
2
+ 2t + 2)(t − 1)
t
2
= −2,
b = lim
t→−1
(y + 2x) = lim
t→−1
t
2
+ 2t −2
t −1
=
3
2
,
y = −2x +
3
2
— наклонная асимптота при t → −1.
3) Вычисление x
0
(t).
x(t) = 1 +
1
t
2
− 1
, x
0
(t) = −
2t
(t
2
− 1)
2
.
Указываем интервалы E
k
изменения t, на которых сохраняется
          § 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.        29
                       r           !                      
 p
 3                     3    3               1 5 1          1
   x3 − 3x2 − x = x     1 − − 1 = −1 − −           2
                                                     +o       ,
                            x               x 3x           x2
                                                    
      1      1 1 1           1               7 1        1
    e =1+ +
      x                +o         , ϕ(x) = − 2 + o          .
             x 2 x2         x2               6x         x2
  Тогда
                                           
                  2                  7 1      1            7
     lim (ϕ(x) ln sh x) = lim      − 2 +o           x2 = − .
   x→+∞                   x→+∞       6x       x2           6
                7
     Ответ: − .
                6
                               t2                 1
8. Построить кривую x = 2           , y =t+1+         .
                            t −1                 t+1
     Р е ш е н и е. 1) Область определения
              x(t) : (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞),
              y(t) : (−∞; −1) ∪ (−1; +∞).
     2) Исследование на асимптоты.
     x → ∞ при t → ±1, y → ∞ при t → −1, t → ∞;
     x = 1 — вертикальная асимптота, так как
                  lim x(t) = 1,   lim y(t) = ∞;
                 t→∞              t→∞
        5
     y=   — горизонтальная асимптота, так как
        2
                                        5
                lim x(t) = ∞, lim y(t) = ;
                t→1           t→1       2
    Для отыскания невертикальной асимптоты y = kx + b при
 t → −1 находим
                  y        (t2 + 2t + 2)(t − 1)
          k = lim   = lim                       = −2,
            t→−1 x    t→−1           t2
                                    t2 + 2t − 2    3
         b = lim (y + 2x) = lim                 = ,
              t→−1           t→−1       t−1        2
              3
   y = −2x + — наклонная асимптота при t → −1.
              2
   3) Вычисление x0 (t).
                        1                    2t
           x(t) = 1 + 2     , x0 (t) = − 2         .
                     t −1                 (t − 1)2
 Указываем интервалы Ek изменения t, на которых сохраняется

Страницы