Программирование и алгоритмизация: Сборник учебно-исследовательских лабораторных работ. Ковальногов В.Н - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

25
температуры. Рассмотрим процедуру получения численного решения на при-
мере решения уравнения теплопроводности (55).
Разобьем исследуемое тело (плиту) на расчетные элементы так, как это по-
казано на рис. 4.
у
ха
b
0
1,1 2,1 m,1
i,j+1
1,n 2,n m,n
i-1,j i,j i+1,j
1,2 2,2 i,j-1 m,2
x
y
Рис. 4. Схема разбиения тела на расчетные элементы при численном расчете
двумерного температурного поля
С учетом связи (50) выразим производные, входящие в уравнение (55), че-
рез отношения конечных разностей в виде:
2
1,,1,
2
2
2
,1,,1
2
2
2
;
2
y
ttt
y
t
x
ttt
x
t
jijijijijiji
. (56)
Здесь принята двойная нумерация расчетных точек, содержащая номер
столбца i и номер строки
j
;
ji
t
,
– значения температуры в точке i,j; y
x
, –
шаги интегрирования вдоль координатных осей
x
и y соответственно; m – ко-
личество расчетных сечений вдоль оси
x
; n – количество расчетных сечений
вдоль оси y ; a и b – размеры плиты (см. рис. 4).
Подставив выражения (56) в исходное уравнение (55) и проведя неслож-
ные преобразования, получим выражение для определения температуры в лю-
бой внутренней точке
j
i, :

22
1,1,
22
,1,1
,
12 yx
ttyxtt
t
jijijiji
ji
. (57)
При y
x
выражение упрощается и принимает вид:
4
1,1,,1,1
,
jijijiji
ji
tttt
t . (58)
В отличие от выражения (51), которое содержит одну неизвестную вели-
чину, каждое из выражений (57), (58) содержит по 5 неизвестных значений
температуры. Поэтому определить неизвестные температуры можно путем ре-
шения системы разностных уравнений, записанных для всех внутренних рас-
четных точек (на рис. 4 эти точки изображены в виде кружков). Значения тем-
пературы в
граничных узлах, которые на рис. 4 изображены в виде крестиков,
задаются в граничных условиях однозначности задачи.

Страницы