Контрольные работы по уравнениям математической физики. Ковтанюк А.Е. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

15. u
tt
= a
2
u
xx
+ (Ax + B)cost + Ccosx + D, 0 < x < l, t > 0,
u(0, t) = U(t), u
x
(l, t) = 0,
u(x, 0) = U(0), u
t
(x, 0) = 0,
а)A = 1, B = 1, C = 4, D = 0, U = const,
б)A = 1, B = 2, C = 2, D = 1, U = cost,
в)A = 1, B = 0, C = 1, D = 0, U = 2cost − 1,
г)A = 3, B = 0, C = 0, D = 1, U = cos2t,
д)A = 0, B = 1, C = 2, D = 0, U = cos2t − 1.
16. u
tt
= a
2
u
xx
+ (Ax + B)sin2t + (Cx + D)cost, 0 < x < l, t > 0,
u
x
(0, t) = u
x
(l, t) = 0,
u(x, 0) = 0, u
t
(x, 0) = V ,
а)A = 2, B = 1, C = 0, D = 1,
б)A = 1, B = 2, C = 1, D = 0,
в)A = 1, B = 0, C = 0, D = 3,
г)A = 4, B = 1, C = 2, D = 1,
д)A = 2, B = 0, C = 1, D = 1.
Примечание. В задачах 9 - 16 предполагается, что частота вынуждающей силы не со-
впадает ни с одной из собственных частот струны.
Указание 1. В задачах 1 - 16 рекомендуется искать решение в виде суммы двух функций:
v(x, t) и w(x, t), где v(x, t) - частное решение неоднородного волнового уравнения, а w(x, t)
- общее решение однородного уравнения с нулевыми граничными условиями.
Указание 2. В задачах 1 - 8, когда вынуждающая сила не зависит от переменной t, част-
ное решение неоднородного волнового уравнения удобно искать как функцию зависящую
только от переменной x. То есть v = v(x).
Указание 3. В задачах 9 - 16 для неоднородного дифференциального уравнения вида
u
tt
= a
2
u
xx
+ F (x) + Φ(x)sinωt
или
u
tt
= a
2
u
xx
+ F (x) + Φ(x)cosωt,
частное решение можно искать в виде суммы двух функций v
1
(x, t) и v
2
(x, t), где v
1
(x, t) -
частное решение неоднородного волнового уравнения
v
tt
= a
2
v
xx
+ F (x),
а v
2
(x, t) - частное решение неоднородного уравнения
v
tt
= a
2
v
xx
+ Φ(x)sinωt,
или
v
tt
= a
2
v
xx
+ Φ(x)cosωt.
Функцию v
1
удобно искать как функцию зависящую только от переменной x, а функцию
v
2
можно искать в виде v
2
(x, t) = X(x)sinωt или v
2
(x, t) = X(x)cosωt.
12
 15. utt = a2 uxx + (Ax + B)cost + Ccosx + D,      0 < x < l, t > 0,
     u(0, t) = U (t), ux (l, t) = 0,
     u(x, 0) = U (0), ut (x, 0) = 0,
      а)A = 1, B = 1, C = 4, D = 0, U = const,
      б)A = 1, B = 2, C = 2, D = 1, U = cost,
      в)A = 1, B = 0, C = 1, D = 0, U = 2cost − 1,
      г)A = 3, B = 0, C = 0, D = 1, U = cos2t,
      д)A = 0, B = 1, C = 2, D = 0, U = cos2t − 1.

 16. utt = a2 uxx + (Ax + B)sin2t + (Cx + D)cost,       0 < x < l, t > 0,
     ux (0, t) = ux (l, t) = 0,
     u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = V ,
      а)A = 2, B = 1, C = 0, D = 1,
      б)A = 1, B = 2, C = 1, D = 0,
      в)A = 1, B = 0, C = 0, D = 3,
      г)A = 4, B = 1, C = 2, D = 1,
      д)A = 2, B = 0, C = 1, D = 1.

    Примечание. В задачах 9 - 16 предполагается, что частота вынуждающей силы не со-
впадает ни с одной из собственных частот струны.
    Указание 1. В задачах 1 - 16 рекомендуется искать решение в виде суммы двух функций:
v(x, t) и w(x, t), где v(x, t) - частное решение неоднородного волнового уравнения, а w(x, t)
- общее решение однородного уравнения с нулевыми граничными условиями.
    Указание 2. В задачах 1 - 8, когда вынуждающая сила не зависит от переменной t, част-
ное решение неоднородного волнового уравнения удобно искать как функцию зависящую
только от переменной x. То есть v = v(x).
    Указание 3. В задачах 9 - 16 для неоднородного дифференциального уравнения вида

                              utt = a2 uxx + F (x) + Φ(x)sinωt

или
                             utt = a2 uxx + F (x) + Φ(x)cosωt,
частное решение можно искать в виде суммы двух функций v1 (x, t) и v2 (x, t), где v1 (x, t) -
частное решение неоднородного волнового уравнения

                                    vtt = a2 vxx + F (x),

а v2 (x, t) - частное решение неоднородного уравнения

                                  vtt = a2 vxx + Φ(x)sinωt,

или
                                  vtt = a2 vxx + Φ(x)cosωt.
Функцию v1 удобно искать как функцию зависящую только от переменной x, а функцию
v2 можно искать в виде v2 (x, t) = X(x)sinωt или v2 (x, t) = X(x)cosωt.


                                             12

Страницы