Контрольные работы по уравнениям математической физики. Ковтанюк А.Е. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

А соответственно общее решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям
(2), представляется в виде ряда
u(x, t) =
∞
X
n=1
A
n
e
−λ
n
a
2
t
X
n
(x),
при условии, что этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из него
почленным дифференцированием по t и двукратным почленным дифференцированием по
x.
Для выполнения начального условия (3) требуется чтобы
u(x, 0) =
∞
X
n=1
A
n
X
n
(x) = ϕ(x). (6)
Ряд (6) представляет собой разложение в ряд Фурье функции ϕ(x). А коэффициенты A
n
определяются как коэффициенты Фурье этого разложения.
В случае неоднородного уравнения теплопроводности
u
t
(x, t) = a
2
u
xx
(x, t) + f(x, t)
решение задачи ищется в виде ряда Фурье по собственным функциям однородной задачи
(X
n
(x))
u(x, t) =
∞
X
n=1
u
n
(t)X
n
(x), (7)
здесь t играет роль параметра. Функцию f (x, t) представим в виде ряда
f(x, t) =
∞
X
n=1
f
n
(t)X
n
(x), (8)
где f
n
(t) при каждом фиксированном t определяются как коэффициенты Фурье разложения
функции f(x, t) в ряд по полной ортогональной системе собственных функций X
n
(x),
n = 1, 2, ...
Далее, подставляя представления (7), (8) в неоднородное уравнение и представление
(7) в начальное условие (3), приходим при каждом фиксированном n к задаче Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, из которой и определяется
функция u
n
.
Контрольные задания по теме:
Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного уравнения
теплопроводности :
1. u
t
= a
2
u
xx
+ 2x + 1, 0 < x < 1, t > 0,
u(0, t) = 1, u(1, t) = 2,
u(x, 0) = x + 1.
2. u
t
= a
2
u
xx
+ x + 2, 0 < x < 1, t > 0,
u
x
(0, t) = 1, u(1, t) = 0,
u(x, 0) = x − 1.
14
А соответственно общее решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям
(2), представляется в виде ряда
                                          ∞
                                                         2
                                                An e−λn a t Xn (x),
                                          X
                              u(x, t) =
                                          n=1

при условии, что этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из него
почленным дифференцированием по t и двукратным почленным дифференцированием по
x.
   Для выполнения начального условия (3) требуется чтобы
                                          ∞
                                          X
                             u(x, 0) =          An Xn (x) = ϕ(x).                  (6)
                                          n=1

Ряд (6) представляет собой разложение в ряд Фурье функции ϕ(x). А коэффициенты An
определяются как коэффициенты Фурье этого разложения.
   В случае неоднородного уравнения теплопроводности

                             ut (x, t) = a2 uxx (x, t) + f (x, t)

решение задачи ищется в виде ряда Фурье по собственным функциям однородной задачи
(Xn (x))
                                             ∞
                                             X
                                u(x, t) =          un (t)Xn (x),                   (7)
                                             n=1

здесь t играет роль параметра. Функцию f (x, t) представим в виде ряда
                                             ∞
                                             X
                                f (x, t) =         fn (t)Xn (x),                   (8)
                                             n=1

где fn (t) при каждом фиксированном t определяются как коэффициенты Фурье разложения
функции f (x, t) в ряд по полной ортогональной системе собственных функций Xn (x),
n = 1, 2, ...
    Далее, подставляя представления (7), (8) в неоднородное уравнение и представление
(7) в начальное условие (3), приходим при каждом фиксированном n к задаче Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, из которой и определяется
функция un .

   Контрольные задания по теме:
Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного уравнения
теплопроводности :

  1. ut = a2 uxx + 2x + 1, 0 < x < 1, t > 0,
     u(0, t) = 1, u(1, t) = 2,
     u(x, 0) = x + 1.

  2. ut = a2 uxx + x + 2, 0 < x < 1, t > 0,
     ux (0, t) = 1, u(1, t) = 0,
     u(x, 0) = x − 1.

                                                14

Страницы