Контрольные работы по уравнениям математической физики. Ковтанюк А.Е. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Указание 4. В задачах с ненулевыми граничными условиями часто бывает полезно пред-
варительно представить решение u(x, t) как сумму двух функций v(x, t) и w(x, t), где функ-
ция v(x, t) удовлетворяет на границе тем же условиям, что и функция u(x, t). Таким образом,
задача сводится к нахождению решения w(x, t) некоторого волнового уравнения с нулевы-
ми граничными условиями. Функцию v(x, t) можно искать в виде v(x, t) = A(t)x + B(t).
Тема 3. Метод разделения переменных для одномерного уравнения
теплопроводности
Пусть т ребуется найти решение одномерного уравнения теплопроводно сти
u
t
(x, t) = a
2
u
xx
(x, t), (1)
для x ∈ (0, l), t > 0, удовлетворяющее краевым условиям
ku(0, t) + (1 − k)u
x
(0, t) = 0, ju(l, t) + (1 − j)u
x
(l, t) = 0, (2)
и начальному условию
u(x, 0) = ϕ(x), (3)
где величина k принимает значение равное либо 0, либо 1, и величина j принимает значение
равное либо 0, либо 1.
Находим сначала нетривиа льное решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым
условиям (2), в виде произведения
u(x, t) = T (t)X(x). (4)
Подставляя представление (4) в уравнение (1) и граничные условия (2), приходим к
следующей задаче Штурма - Лиувилля
X
00
(x) + λX(x) = 0,
kX(0) + (1 − k)X
0
(0) = 0, jX(l) + (1 − j)X
0
(l) = 0,
из которой определяется счетное число собственных значений λ
n
и собственных функций
X
n
(x).
Функция T (t) является решением следующего уравнения
T
0
(t) + λa
2
T (t) = 0. (5)
Общее решение уравнения (5) при λ = λ
n
имеет вид
T
n
(t) = A
n
e
−λ
n
a
2
t
,
где A
n
– произвольная постоянная.
Таким образом, имеется бесчисленное множество решений уравнения (1), удовлетворя-
ющих граничным условиям (2), вида
u
n
(x, t) = X
n
(x)T
n
(t).
13
   Указание 4. В задачах с ненулевыми граничными условиями часто бывает полезно пред-
варительно представить решение u(x, t) как сумму двух функций v(x, t) и w(x, t), где функ-
ция v(x, t) удовлетворяет на границе тем же условиям, что и функция u(x, t). Таким образом,
задача сводится к нахождению решения w(x, t) некоторого волнового уравнения с нулевы-
ми граничными условиями. Функцию v(x, t) можно искать в виде v(x, t) = A(t)x + B(t).

   Тема 3. Метод разделения переменных для одномерного уравнения
теплопроводности

   Пусть требуется найти решение одномерного уравнения теплопроводности

                                    ut (x, t) = a2 uxx (x, t),                          (1)

для x ∈ (0, l), t > 0, удовлетворяющее краевым условиям

               ku(0, t) + (1 − k)ux (0, t) = 0,     ju(l, t) + (1 − j)ux (l, t) = 0,    (2)

и начальному условию
                                       u(x, 0) = ϕ(x),                                  (3)
где величина k принимает значение равное либо 0, либо 1, и величина j принимает значение
равное либо 0, либо 1.
    Находим сначала нетривиальное решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым
условиям (2), в виде произведения

                                     u(x, t) = T (t)X(x).                               (4)

   Подставляя представление (4) в уравнение (1) и граничные условия (2), приходим к
следующей задаче Штурма - Лиувилля

                                    X 00 (x) + λX(x) = 0,

                  kX(0) + (1 − k)X 0 (0) = 0,       jX(l) + (1 − j)X 0 (l) = 0,
из которой определяется счетное число собственных значений λn и собственных функций
Xn (x).
    Функция T (t) является решением следующего уравнения

                                    T 0 (t) + λa2 T (t) = 0.                            (5)

   Общее решение уравнения (5) при λ = λn имеет вид
                                                         2
                                     Tn (t) = An e−λn a t ,

где An – произвольная постоянная.
    Таким образом, имеется бесчисленное множество решений уравнения (1), удовлетворя-
ющих граничным условиям (2), вида

                                   un (x, t) = Xn (x)Tn (t).


                                               13

Страницы