Контрольные работы по уравнениям математической физики. Ковтанюк А.Е. - 19 стр.

   Указание 1. В задачах 1 - 8, когда источники тепла не зависят от переменной t, об-
щее решение неоднородного уравнения теплопроводности удобно искать в виде суммы
двух функций: v(x) и w(x, t), где v(x) - частное решение неоднородного уравнения тепло-
проводности, а w(x, t) - общее решение однородного уравнения с нулевыми граничными
условиями.
   Указание 2. В задачах с ненулевыми граничными условиями часто бывает полезно
предварительно представить решение u(x, t) как сумму двух функций v(x, t) и w(x, t),
где функция v(x, t) удовлетворяет на границе тем же условиям, что и функция u(x, t).
Таким образом, задача сводится к нахождению решения w(x, t) некоторого уравнения те-
плопроводности с нулевыми граничными условиями. Функцию v(x, t) можно искать в виде
v(x, t) = A(t)x + B(t), либо v(x, t) = A(t)x2 + B(t)x.

   Тема 4. Метод разделения переменных для уравнения Лапласа
в областях с круговыми границами

   Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Лапласа в круге, записанную в по-
лярной системе координат,

                                      1 ∂2u
                                       !
                          1 ∂    ∂u
                               ρ    + 2 2 = 0,               ρ < a,                        (1)
                          ρ ∂ρ   ∂ρ  ρ ∂ϕ

                               u(a, ϕ) = f (ϕ),    0 ≤ ϕ < 2π.                             (2)
   Будем искать частное решение задачи в виде

                                    u(ρ, ϕ) = R(ρ)Φ(ϕ).

Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (1) получим

                                                       Φ00
                                             !
                                 ρ d    dR
                                      ρ           =−       = λ,
                                 R dρ   dρ             Φ

где λ = const. Отсюда получаем два уравнения

                                    Φ00 (ϕ) + λΦ(ϕ) = 0,                                   (3)
                                             !
                                    d    dR
                                  ρ    ρ    − λR = 0.                                      (4)
                                    dρ   dρ
Отметим, что функция Φ является 2π – периодичной

                                    Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ).                                      (5)

Задача (3), (5) дает счетное число собственных значений и функций
                           q                q           q
            Φn (ϕ) = An cos λn ϕ + Bn sin λn ϕ,           λn = n,      n = 0, 1, 2, ....

   Решение уравнения (4) представляется в виде

               R0 (ρ) = C0 + D0 lnρ,    Rn = Cn ρn + Dn ρ−n ,         n = 1, 2, ....       (6)

                                             19