Контрольные работы по уравнениям математической физики. Ковтанюк А.Е. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Условие ограниченности решения дает D
n
= 0, n = 0, 1, 2, .... Таким образом, имеется
бесчисленное множество решений уравнения (1), удовлетворяющих условию 2π – перио-
дичности,
u
n
(ρ, ϕ) = R
n
(ρ)Φ
n
(ϕ), n = 0, 1, 2, ....
А соответственно общее решение уравнения (1) представляется в виде ряда
u(ρ, ϕ) =
∞
X
n=0
ρ
n
(a
n
cosnϕ + b
n
sinnϕ).
Коэффициенты a
n
, b
n
находятся из граничного условия (2).
В случае, когда требуется найти решение уравнения Лапласа внутри кольца a ≤ ρ ≤ b,
в представлении (6) для R
i
(ρ), i = 0, 1, 2, ... требуется сохранить оба слагаемых, так как в
отличии от задачи для круга точка ρ = 0 находится вне кольца.
В результате получим частные решения в виде
u
0
(ρ, ϕ) = a
0
+ b
0
lnρ,
u
n
(ρ, ϕ) = (a
n
ρ
n
+ b
n
ρ
−n
)cosnϕ + (c
n
ρ
n
+ d
n
ρ
−n
)sinnϕ, n = 0, 1, 2, ....
Составляя затем общее решение и требуя удовлетворения краевым условиям, получим со-
отношения из которых можно определить коэффициенты a
n
, b
n
, c
n
, d
n
.
Контрольные задания по теме:
Задание 1. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения
Пуассона в кольце 0 < a < ρ < b, при m = 1, 2, 3
1. ∆u(ρ, ϕ) = 2,
u(a, ϕ) = 0, u(b, ϕ) = cosmϕ.
2. ∆u(ρ, ϕ) = 2,
u(a, ϕ) = sinmϕ, u
ρ
(b, ϕ) = 0.
3. ∆u(ρ, ϕ) = 2,
u
ρ
(a, ϕ) = 0, u(b, ϕ) = 3cos2mϕ.
4. ∆u(ρ, ϕ) = 12ρ
2
,
u(a, ϕ) = 2cosmϕ, u(b, ϕ) = 0.
5. ∆u(ρ, ϕ) = 12ρ
2
,
u(a, ϕ) = 0, u
ρ
(b, ϕ) = 2sin2mϕ.
6. ∆u(ρ, ϕ) = 12ρ
2
,
u
ρ
(a, ϕ) = sin(m + 1)ϕ, u(b, ϕ) = 0.
7. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ
2
,
u(a, ϕ) = 1 + sin3mϕ, u(b, ϕ) = 0.
8. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ
2
,
u(a, ϕ) = 0, u
ρ
(b, ϕ) = 3cos(m + 1)ϕ.
20
Условие ограниченности решения дает Dn = 0, n = 0, 1, 2, .... Таким образом, имеется
бесчисленное множество решений уравнения (1), удовлетворяющих условию 2π – перио-
дичности,
                       un (ρ, ϕ) = Rn (ρ)Φn (ϕ), n = 0, 1, 2, ....
А соответственно общее решение уравнения (1) представляется в виде ряда
                                       ∞
                                             ρn (an cosnϕ + bn sinnϕ).
                                       X
                           u(ρ, ϕ) =
                                       n=0

Коэффициенты an , bn находятся из граничного условия (2).
   В случае, когда требуется найти решение уравнения Лапласа внутри кольца a ≤ ρ ≤ b,
в представлении (6) для Ri (ρ), i = 0, 1, 2, ... требуется сохранить оба слагаемых, так как в
отличии от задачи для круга точка ρ = 0 находится вне кольца.
   В результате получим частные решения в виде

                                     u0 (ρ, ϕ) = a0 + b0 lnρ,

         un (ρ, ϕ) = (an ρn + bn ρ−n )cosnϕ + (cn ρn + dn ρ−n )sinnϕ,    n = 0, 1, 2, ....
Составляя затем общее решение и требуя удовлетворения краевым условиям, получим со-
отношения из которых можно определить коэффициенты an , bn , cn , dn .

   Контрольные задания по теме:
   Задание 1. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения
Пуассона в кольце 0 < a < ρ < b, при m = 1, 2, 3

  1. ∆u(ρ, ϕ) = 2,
     u(a, ϕ) = 0, u(b, ϕ) = cosmϕ.

  2. ∆u(ρ, ϕ) = 2,
     u(a, ϕ) = sinmϕ, uρ (b, ϕ) = 0.

  3. ∆u(ρ, ϕ) = 2,
     uρ (a, ϕ) = 0, u(b, ϕ) = 3cos2mϕ.

  4. ∆u(ρ, ϕ) = 12ρ2 ,
     u(a, ϕ) = 2cosmϕ, u(b, ϕ) = 0.

  5. ∆u(ρ, ϕ) = 12ρ2 ,
     u(a, ϕ) = 0, uρ (b, ϕ) = 2sin2mϕ.

  6. ∆u(ρ, ϕ) = 12ρ2 ,
     uρ (a, ϕ) = sin(m + 1)ϕ, u(b, ϕ) = 0.

  7. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ2 ,
     u(a, ϕ) = 1 + sin3mϕ, u(b, ϕ) = 0.

  8. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ2 ,
     u(a, ϕ) = 0, uρ (b, ϕ) = 3cos(m + 1)ϕ.

                                                 20

Страницы