Контрольные работы по уравнениям математической физики. Ковтанюк А.Е. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Тема 5. Метод разделения переменных для уравнения Лапласа
в областях с плоскими границами
Пусть требуется найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике
∆u(x, y) = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, (1)
удовлетворяющее следующим граничным условиям
u(x, 0) = f(x), u(x, b) = F (x), u(0, y) = g(y), u(a, y) = G(y), (2)
и пусть краевые значения функции u(x, y) непрерывны, то есть
f(0) = g(0), f(a) = G(0), F (0) = g(b), F (a) = G(b).
Представим решение задачи (1), (2) в виде суммы
u(x, y) = U(x, y) + v(x, y),
где U(x, y) – гармоническая функция, выбираемая так, чтобы функция v(x, y) во всех
вершинах прямоугольника обращалась в нуль, а в оста льном была совершенно произвольна.
Полагая
U(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy,
мы видим, что эта функция гармоническая. Коэффициенты A, B, C и D выбираем в
соответствии с указанным выше условием для v(x, y).
Гармоническая функция v(x, y) удовлетворяет краевым условиям
v(x, 0) = f(x) − U(x, 0), v(x, b) = F (x) − U(x, b),
v(0, y) = g(y) − U(0, y), v(a, y) = G(y) − U(a, y),
Функцию v(x, y) можно представить в виде суммы четырех гармонических функций
v
i
(x, y), i = 1, 2, 3, 4 каждая из которых принимает заданно е значение на одной из сторон и
обращается в нуль на остальных трех сторонах. Вид каждой функции v
i
(x, y) можно найти,
используя метод разделения переменных.
Контрольные задания по теме:
Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в
прямоугольнике 0 < x < a, 0 < y < b
1. ∆u(x, y) = 2,
u(0, y) = 2y
2
, u(a, y) = 2y
2
+ 2a
2
,
u(x, 0) = 2x
2
, u(x, b) = 2x
2
+ 2b
2
.
2. ∆u(x, y) = 4,
u(0, y) = y
2
, u(a, y) = y
2
+ a
2
,
u(x, 0) = x
2
, u(x, b) = x
2
+ b
2
.
22
   Тема 5. Метод разделения переменных для уравнения Лапласа
в областях с плоскими границами

   Пусть требуется найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике

                             ∆u(x, y) = 0,     0 < x < a,          0 < y < b,                   (1)

удовлетворяющее следующим граничным условиям

            u(x, 0) = f (x),      u(x, b) = F (x),        u(0, y) = g(y),     u(a, y) = G(y),   (2)

и пусть краевые значения функции u(x, y) непрерывны, то есть

                  f (0) = g(0),    f (a) = G(0),      F (0) = g(b),         F (a) = G(b).

   Представим решение задачи (1), (2) в виде суммы

                                    u(x, y) = U (x, y) + v(x, y),

где U (x, y) – гармоническая функция, выбираемая так, чтобы функция v(x, y) во всех
вершинах прямоугольника обращалась в нуль, а в остальном была совершенно произвольна.
Полагая
                            U (x, y) = A + Bx + Cy + Dxy,
мы видим, что эта функция гармоническая. Коэффициенты A, B, C и D выбираем в
соответствии с указанным выше условием для v(x, y).
   Гармоническая функция v(x, y) удовлетворяет краевым условиям

                      v(x, 0) = f (x) − U (x, 0),         v(x, b) = F (x) − U (x, b),

                      v(0, y) = g(y) − U (0, y),      v(a, y) = G(y) − U (a, y),
     Функцию v(x, y) можно представить в виде суммы четырех гармонических функций
vi (x, y), i = 1, 2, 3, 4 каждая из которых принимает заданное значение на одной из сторон и
обращается в нуль на остальных трех сторонах. Вид каждой функции vi (x, y) можно найти,
используя метод разделения переменных.

   Контрольные задания по теме:
   Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения Пуассона в
прямоугольнике 0 < x < a, 0 < y < b

  1. ∆u(x, y) = 2,
     u(0, y) = 2y 2 , u(a, y) = 2y 2 + 2a2 ,
     u(x, 0) = 2x2 , u(x, b) = 2x2 + 2b2 .

  2. ∆u(x, y) = 4,
     u(0, y) = y 2 , u(a, y) = y 2 + a2 ,
     u(x, 0) = x2 , u(x, b) = x2 + b2 .



                                                     22

Страницы