Контрольные работы по уравнениям математической физики. Ковтанюк А.Е. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

9. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ
2
,
u
ρ
(a, ϕ) = 1 + 2cos3mϕ, u(b, ϕ) = 0.
10. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ
2
,
u(a, ϕ) = m, u(b, ϕ) = 2m.
11. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ
2
,
u(a, ϕ) = cos(m − 1)ϕ, u
ρ
(b, ϕ) = 3cos2mϕ.
12. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ
2
,
u
ρ
(a, ϕ) = 4sin2mϕ, u(b, ϕ) = 2cos(m + 1)ϕ.
13. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
u
ρ
(a, ϕ) = 2sinmϕ + cos2mϕ, u
ρ
(b, ϕ) = 0.
14. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
u
ρ
(a, ϕ) = 0, u
ρ
(b, ϕ) = 2cosmϕ − sinϕ.
15. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
u
ρ
(a, ϕ) = sinmϕ, u
ρ
(b, ϕ) = 2cos(m + 1)ϕ.
16. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
u
ρ
(a, ϕ) = cos2mϕ − sinϕ, u
ρ
(b, ϕ) = 4sinmϕ.
Указание 1. В краевых задачах 1 – 12 для неоднородного уравнения Лапласа (уравнения
Пуассона) общее решение удобно искать в виде суммы двух функций: v(ρ) и w(ρ, ϕ), где
v(ρ) - частное решение уравнения Пуассона (ищется как функция, зависящая только от ρ),
а w(ρ, ϕ) - общее решение уравнения Лапласа.
Задание 2. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения
Лапласа в кольцевом секторе 0 < a < ρ < b, 0 < ϕ <
π
α
при α = 1, 2, 3, 4
1. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
u(ρ, 0) = u(ρ,
π
α
) = 0,
u(a, ϕ) = 3sinαϕ − sin2αϕ, u(b, ϕ) = 0.
2. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
u(ρ, 0) = u(ρ,
π
α
) = 0,
u
ρ
(a, ϕ) = 0, u(b, ϕ) = 2sinαϕ − 3sin4αϕ.
3. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
u(ρ, 0) = u(ρ,
π
α
) = 0,
u(a, ϕ) = sinαϕ, u
ρ
(b, ϕ) = 4sin2αϕ.
4. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
u(ρ, 0) = u(ρ,
π
α
) = 0,
u
ρ
(a, ϕ) = 3sin2αϕ, u
ρ
(b, ϕ) = 5sinαϕ.
21
  9. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ2 ,
     uρ (a, ϕ) = 1 + 2cos3mϕ, u(b, ϕ) = 0.

 10. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ2 ,
     u(a, ϕ) = m, u(b, ϕ) = 2m.

 11. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ2 ,
     u(a, ϕ) = cos(m − 1)ϕ, uρ (b, ϕ) = 3cos2mϕ.

 12. ∆u(ρ, ϕ) = 4 + 12ρ2 ,
     uρ (a, ϕ) = 4sin2mϕ, u(b, ϕ) = 2cos(m + 1)ϕ.

 13. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
     uρ (a, ϕ) = 2sinmϕ + cos2mϕ, uρ (b, ϕ) = 0.

 14. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
     uρ (a, ϕ) = 0, uρ (b, ϕ) = 2cosmϕ − sinϕ.

 15. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
     uρ (a, ϕ) = sinmϕ, uρ (b, ϕ) = 2cos(m + 1)ϕ.

 16. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
     uρ (a, ϕ) = cos2mϕ − sinϕ, uρ (b, ϕ) = 4sinmϕ.

   Указание 1. В краевых задачах 1 – 12 для неоднородного уравнения Лапласа (уравнения
Пуассона) общее решение удобно искать в виде суммы двух функций: v(ρ) и w(ρ, ϕ), где
v(ρ) - частное решение уравнения Пуассона (ищется как функция, зависящая только от ρ),
а w(ρ, ϕ) - общее решение уравнения Лапласа.

   Задание 2. Решить методом разделения переменных следующую задачу для уравнения
Лапласа в кольцевом секторе 0 < a < ρ < b, 0 < ϕ < απ при α = 1, 2, 3, 4

  1. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
     u(ρ, 0) = u(ρ, απ ) = 0,
     u(a, ϕ) = 3sinαϕ − sin2αϕ, u(b, ϕ) = 0.

  2. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
     u(ρ, 0) = u(ρ, απ ) = 0,
     uρ (a, ϕ) = 0, u(b, ϕ) = 2sinαϕ − 3sin4αϕ.

  3. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
     u(ρ, 0) = u(ρ, απ ) = 0,
     u(a, ϕ) = sinαϕ, uρ (b, ϕ) = 4sin2αϕ.

  4. ∆u(ρ, ϕ) = 0,
     u(ρ, 0) = u(ρ, απ ) = 0,
     uρ (a, ϕ) = 3sin2αϕ, uρ (b, ϕ) = 5sinαϕ.




                                             21

Страницы