ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Тема 1. Классификация дифференциальных уравнений с частными
производными. Приведение к каноническому виду
Рассмотрим функцию u(x, y) двух независимых переменных x, y. Уравнение
a(x, y)u
xx
+ 2b(x, y)u
xy
+ c(x, y)u
yy
+ F (x, y, u, u
x
, u
y
) = 0 (1)
принадлежит гиперболическому типу, если b
2
−ac > 0, параболическому типу, если b
2
−ac =
0, и эллиптическому типу, если b
2
− ac < 0. Здесь a, b и c – функции от x, y, имеющие
непрерывные производные до второго порядка включительно.
Чтобы привести уравнение (1) к каноническому виду, нужно составить уравнение ха-
рактеристик
ady
2
− 2bdxdy + cdx
2
= 0, (2)
которое распадается на два уравнения
ady − (b +
√
b
2
− ac)dx = 0, (3)
ady − (b −
√
b
2
− ac)dx = 0, (4)
и найти их общие интегралы.
Уравнения гиперболического типа: b
2
− ac > 0.
Общие интегралы ϕ(x, y) = c
1
, ψ(x, y) = c
2
уравнений (3) и (4) будут вещественными
и различными. Они определяют два различных семейства вещественных характеристик.
Вводя вместо (x, y) новые независимые переменные (ξ, η), такие что
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y),
приведем уравнение (1) к каноническому виду
v
ξη
= Φ(ξ, η, v, v
ξ
, v
η
), (5)
где v(ξ, η) = u(x, y). Это – так называемая каноническая форма уравнения гиперболиче-
ского типа. Часто пользуются второй канонической формой. Положим
α =
ξ + η
2
, β =
ξ − η
2
.
Переходя в уравнении (1) к новым независимым переменным (α, β), в результате получим
v
αα
− v
ββ
= Φ
1
(α, β, v, v
α
, v
β
). (5
0
)
Уравнения параболического типа: b
2
− ac = 0.
В этом случае уравнения (3) и (4) совпадают, и мы получаем один общий интеграл
уравнения (2): ϕ(x, y) = c. Положим в этом случае
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y),
где ψ(x, y) – любая функция, не зависимая от ϕ(x, y). Достаточным условием независимости
функций ϕ(x, y) и ψ(x, y) является отличие от нуля соответствующего функционального
определителя ∆ = ϕ
x
ψ
y
− ϕ
y
ψ
x
.
3
Тема 1. Классификация дифференциальных уравнений с частными
производными. Приведение к каноническому виду
Рассмотрим функцию u(x, y) двух независимых переменных x, y. Уравнение
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0 (1)
принадлежит гиперболическому типу, если b2 −ac > 0, параболическому типу, если b2 −ac =
0, и эллиптическому типу, если b2 − ac < 0. Здесь a, b и c – функции от x, y, имеющие
непрерывные производные до второго порядка включительно.
Чтобы привести уравнение (1) к каноническому виду, нужно составить уравнение ха-
рактеристик
ady 2 − 2bdxdy + cdx2 = 0, (2)
которое распадается на два уравнения
√
ady − (b + b2 − ac)dx = 0, (3)
√
ady − (b − b2 − ac)dx = 0, (4)
и найти их общие интегралы.
Уравнения гиперболического типа: b2 − ac > 0.
Общие интегралы ϕ(x, y) = c1 , ψ(x, y) = c2 уравнений (3) и (4) будут вещественными
и различными. Они определяют два различных семейства вещественных характеристик.
Вводя вместо (x, y) новые независимые переменные (ξ, η), такие что
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y),
приведем уравнение (1) к каноническому виду
vξη = Φ(ξ, η, v, vξ , vη ), (5)
где v(ξ, η) = u(x, y). Это – так называемая каноническая форма уравнения гиперболиче-
ского типа. Часто пользуются второй канонической формой. Положим
ξ+η ξ−η
α= , β= .
2 2
Переходя в уравнении (1) к новым независимым переменным (α, β), в результате получим
vαα − vββ = Φ1 (α, β, v, vα , vβ ). (50 )
Уравнения параболического типа: b2 − ac = 0.
В этом случае уравнения (3) и (4) совпадают, и мы получаем один общий интеграл
уравнения (2): ϕ(x, y) = c. Положим в этом случае
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y),
где ψ(x, y) – любая функция, не зависимая от ϕ(x, y). Достаточным условием независимости
функций ϕ(x, y) и ψ(x, y) является отличие от нуля соответствующего функционального
определителя ∆ = ϕx ψy − ϕy ψx .
3
