Контрольные работы по уравнениям математической физики. Ковтанюк А.Е. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Вводя вместо (x, y) новые независимые переменные (ξ, η), приведем уравнение (1) к
виду
v
ηη
= Φ(ξ, η, v, v
ξ
, v
η
). (6)
Это – каноническая форма для уравнения параболического типа.
Уравнения эллиптического типа: b
2
− ac < 0.
В этом случае общие интегралы уравнений (3) и (4) – комплексно сопряженные; они
определяют два семейства мнимых характеристик.
Пусть общий интеграл уравнения (3) имеет вид
ϕ(x, y) + iψ(x, y) = c,
где ϕ(x, y) и ψ(x, y) – вещественные функции.
Тогда полагая
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y),
приводим уравнение (1) к виду
v
ξξ
+ v
ηη
= Φ(ξ, η, v, v
ξ
, v
η
). (7)
Это – каноническая форма для уравнения эллиптического типа.
Контрольные задания по теме:
Определить тип уравнений. Привести к каноническому виду.
1. u
xx
+ 4u
xy
+ u
yy
+ u
x
+ u
y
− x
2
y = 0.
2. u
xx
+ 2u
xy
+ 5u
yy
− 32u
y
= 0.
3. u
xx
− 2u
xy
+ u
yy
+ 9u
x
+ 9u
y
= 0.
4. 2u
xx
+ 3u
xy
+ u
yy
+ 7u
x
+ 4u
y
= 0.
5. u
xx
+ u
xy
− 2u
yy
− 3u
x
− 15u
y
+ 27x = 0.
6. 9u
xx
− 6u
xy
+ u
yy
+ 10u
x
− 15u
y
+ x − 2y = 0.
7. u
xx
+ 2u
xy
+ 10u
yy
− 24u
x
+ 42u
y
+ 2(x + y) = 0.
8. u
xx
+ 4u
xy
+ 13u
yy
+ 3u
x
+ 24u
y
+ 9(x + y) = 0.
9. u
xx
− 4u
xy
+ 5u
yy
− 3u
x
+ u
y
= 0.
10. u
xx
− 6u
xy
+ 9u
yy
− u
x
+ 2u
y
= 0.
11. 2u
xy
− 4u
yy
+ u
x
− 2u
y
+ x = 0.
12. u
xy
+ 2u
yy
− u
x
+ 4u
y
= 0.
13. 2u
xx
+ 2u
xy
+ u
yy
+ 4u
x
+ 4u
y
= 0.
14. u
xx
+ 2u
xy
+ u
yy
+ 3u
x
− 5u
y
= 0.
4
   Вводя вместо (x, y) новые независимые переменные (ξ, η), приведем уравнение (1) к
виду
                                vηη = Φ(ξ, η, v, vξ , vη ).                      (6)
Это – каноническая форма для уравнения параболического типа.
   Уравнения эллиптического типа: b2 − ac < 0.
   В этом случае общие интегралы уравнений (3) и (4) – комплексно сопряженные; они
определяют два семейства мнимых характеристик.
   Пусть общий интеграл уравнения (3) имеет вид

                                   ϕ(x, y) + iψ(x, y) = c,

где ϕ(x, y) и ψ(x, y) – вещественные функции.
    Тогда полагая
                                 ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y),
приводим уравнение (1) к виду

                                vξξ + vηη = Φ(ξ, η, v, vξ , vη ).                (7)

Это – каноническая форма для уравнения эллиптического типа.

  Контрольные задания по теме:
Определить тип уравнений. Привести к каноническому виду.

  1. uxx + 4uxy + uyy + ux + uy − x2 y = 0.

  2. uxx + 2uxy + 5uyy − 32uy = 0.

  3. uxx − 2uxy + uyy + 9ux + 9uy = 0.

  4. 2uxx + 3uxy + uyy + 7ux + 4uy = 0.

  5. uxx + uxy − 2uyy − 3ux − 15uy + 27x = 0.

  6. 9uxx − 6uxy + uyy + 10ux − 15uy + x − 2y = 0.

  7. uxx + 2uxy + 10uyy − 24ux + 42uy + 2(x + y) = 0.

  8. uxx + 4uxy + 13uyy + 3ux + 24uy + 9(x + y) = 0.

  9. uxx − 4uxy + 5uyy − 3ux + uy = 0.

 10. uxx − 6uxy + 9uyy − ux + 2uy = 0.

 11. 2uxy − 4uyy + ux − 2uy + x = 0.

 12. uxy + 2uyy − ux + 4uy = 0.

 13. 2uxx + 2uxy + uyy + 4ux + 4uy = 0.

 14. uxx + 2uxy + uyy + 3ux − 5uy = 0.

                                               4

Страницы