Контрольные работы по уравнениям математической физики. Ковтанюк А.Е. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Для выполнения начальных условий (3) т ребуется чтобы
u(x, 0) =
∞
X
n=1
A
n
X
n
(x) = ϕ(x), (8)
u
t
(x, 0) =
∞
X
n=1
a
√
λB
n
X
n
(x) = ψ(x). (9)
Ряды (8), (9) представляют собой разложение в ряды Фурье функций ϕ(x) и ψ(x). Из фор-
мул для коэффициентов этих разложений и определяются коэффициенты A
n
, B
n
.
Контрольные задания по теме:
Задание 1. Используя метод разделения переменных, найти решение однородного вол-
нового уравнения u
tt
= a
2
u
xx
, 0 < x < l, t > 0 при следующих граничных и начальных
условиях:
1. u(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = sin
π
l
x + sin
3π
l
x, u
t
(x, 0) = 0 .
2. u
x
(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = 0, u
t
(x, 0) = 1 .
3. u(0, t) = u
x
(l, t) = 0,
u(x, 0) = sin
π
2l
x + sin
3π
2l
x, u
t
(x, 0) = 0 .
4. u
x
(0, t) = u
x
(l, t) = 0,
u(x, 0) = 1, u
t
(x, 0) = 1 .
5. u(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = sin
2π
l
x, u
t
(x, 0) = 1 .
6. u
x
(0, t) = u
x
(l, t) = 0,
u(x, 0) = 0, u
t
(x, 0) = 1 + cos
π
l
x + cos
3π
l
x.
7. u
x
(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = 0, u
t
(x, 0) = cos
π
2l
x + cos
5π
2l
x.
8. u(0, t) = u
x
(l, t) = 0,
u(x, 0) = sin
5π
2l
x, u
t
(x, 0) = 1.
9. u
x
(0, t) = u
x
(l, t) = 0,
u(x, 0) = U = const, u
t
(x, 0) = V = const.
10. u(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = 0, u
t
(x, 0) = 1.
11. u
x
(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = cos
3π
2l
x, u
t
(x, 0) = 1.
12. u
x
(0, t) = u
x
(l, t) = 0,
u(x, 0) = 1, u
t
(x, 0) = 2 + cos
π
l
x.
8
   Для выполнения начальных условий (3) требуется чтобы
                                                ∞
                                                X
                                    u(x, 0) =         An Xn (x) = ϕ(x),           (8)
                                                n=1

                                             ∞ √
                                             X
                               ut (x, 0) =         a λBn Xn (x) = ψ(x).           (9)
                                             n=1

Ряды (8), (9) представляют собой разложение в ряды Фурье функций ϕ(x) и ψ(x). Из фор-
мул для коэффициентов этих разложений и определяются коэффициенты An , Bn .

   Контрольные задания по теме:
   Задание 1. Используя метод разделения переменных, найти решение однородного вол-
нового уравнения utt = a2 uxx , 0 < x < l, t > 0 при следующих граничных и начальных
условиях:
  1. u(0, t) = u(l, t) = 0,
     u(x, 0) = sin πl x + sin 3πl x, ut (x, 0) = 0 .

  2. ux (0, t) = u(l, t) = 0,
     u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 1 .

  3. u(0, t) = ux (l, t) = 0,
     u(x, 0) = sin 2lπ x + sin 3π
                               2l
                                  x, ut (x, 0) = 0 .

  4. ux (0, t) = ux (l, t) = 0,
     u(x, 0) = 1, ut (x, 0) = 1 .

  5. u(0, t) = u(l, t) = 0,
     u(x, 0) = sin 2πl x, ut (x, 0) = 1 .

  6. ux (0, t) = ux (l, t) = 0,
     u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 1 + cos πl x + cos 3πl x.

  7. ux (0, t) = u(l, t) = 0,
     u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = cos 2lπ x + cos 5π
                                              2l
                                                 x.

  8. u(0, t) = ux (l, t) = 0,
     u(x, 0) = sin 5π
                    2l
                       x, ut (x, 0) = 1.

  9. ux (0, t) = ux (l, t) = 0,
     u(x, 0) = U = const, ut (x, 0) = V = const.

 10. u(0, t) = u(l, t) = 0,
     u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 1.

 11. ux (0, t) = u(l, t) = 0,
     u(x, 0) = cos 3π
                    2l
                       x, ut (x, 0) = 1.

 12. ux (0, t) = ux (l, t) = 0,
     u(x, 0) = 1, ut (x, 0) = 2 + cos πl x.

                                                       8

Страницы