Контрольные работы по уравнениям математической физики. Ковтанюк А.Е. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

где величина k принимает значение равное либо 0, либо 1, и величина j принимает значение
равное либо 0, либо 1.
Находим сначала нетривиа льное решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым
условиям (2), в виде произведения
u(x, t) = T (t)X(x). (4)
Подставляя (4) в уравнение (1), получим
X
00
(x)
X(x)
=
T
00
(x)
a
2
T (x)
= −λ,
где λ – некоторая по стоянная.
Отсюда
X
00
(x) + λX(x) = 0, (5)
T
00
(t) + λa
2
T (t) = 0. (6)
Так как функция T (t) не равна тождественно нулю, то, для того чтобы функция (4) удовле-
творяла краевым условиям (2), необходимо и достаточно выполнение условий
kX(0) + (1 − k)X
0
(0) = 0, jX(l) + (1 − j)X
0
(l) = 0. (7)
Таким образом, для определения функции X(x) мы пришли к следующей краевой задаче
для обыкновенного дифференциального уравнения (задача Штурма - Лиувилля):
Найти т акие значения λ, называемые собственными значениями, при которых суще-
ствует нетривиальное решение уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям (7); а
также найти эти нетривиальные решения, называемые собственными функциями.
Известно, что:
1. Существует счетное множество собственных значений λ
1
< λ
2
< ... < λ
n
< ... ,
которым соответствуют собственные функции X
1
(x), X
2
(x), ...
2. Собственные значения λ
n
неотрицательны.
3. Собственные функции образуют на отрезке (0, l) ортогональную систему.
После того, как задача Штурма - Лиувилля решена, для каждого собственного значения
λ
n
решаем уравнение (6). Общее решение уравнения (6) при λ = λ
n
имеет вид
T
n
(t) = A
n
cosa
q
λ
n
t + B
n
sina
q
λ
n
t,
где A
n
, B
n
– произвольные постоянные.
Таким образом, мы получили бесчисленное множество решений уравнения (1) вида
u
n
(x, t) = X
n
(x)T
n
(t).
Чтобы удовлетворить нача льным условиям (3), составим ряд
u(x, t) =
∞
X
n=1
X
n
(x)T
n
(t).
Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из него двукратным
почленным дифференцированием по x и t, то сумма его будет удовлетворять уравнению
(1) и краевым условиям (2).
7
где величина k принимает значение равное либо 0, либо 1, и величина j принимает значение
равное либо 0, либо 1.
    Находим сначала нетривиальное решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым
условиям (2), в виде произведения

                                  u(x, t) = T (t)X(x).                               (4)

Подставляя (4) в уравнение (1), получим
                                X 00 (x)   T 00 (x)
                                         = 2        = −λ,
                                X(x)      a T (x)
где λ – некоторая постоянная.
    Отсюда
                                  X 00 (x) + λX(x) = 0,                              (5)
                                  T 00 (t) + λa2 T (t) = 0.                          (6)
Так как функция T (t) не равна тождественно нулю, то, для того чтобы функция (4) удовле-
творяла краевым условиям (2), необходимо и достаточно выполнение условий

                 kX(0) + (1 − k)X 0 (0) = 0,        jX(l) + (1 − j)X 0 (l) = 0.      (7)

Таким образом, для определения функции X(x) мы пришли к следующей краевой задаче
для обыкновенного дифференциального уравнения (задача Штурма - Лиувилля):
   Найти такие значения λ, называемые собственными значениями, при которых суще-
ствует нетривиальное решение уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям (7); а
также найти эти нетривиальные решения, называемые собственными функциями.
   Известно, что:
   1. Существует счетное множество собственных значений λ1 < λ2 < ... < λn < ... ,
которым соответствуют собственные функции X1 (x), X2 (x), ...
   2. Собственные значения λn неотрицательны.
   3. Собственные функции образуют на отрезке (0, l) ортогональную систему.
   После того, как задача Штурма - Лиувилля решена, для каждого собственного значения
λn решаем уравнение (6). Общее решение уравнения (6) при λ = λn имеет вид
                                            q                     q
                          Tn (t) = An cosa λn t + Bn sina λn t,

где An , Bn – произвольные постоянные.
    Таким образом, мы получили бесчисленное множество решений уравнения (1) вида

                                 un (x, t) = Xn (x)Tn (t).

   Чтобы удовлетворить начальным условиям (3), составим ряд
                                            ∞
                                            X
                                u(x, t) =         Xn (x)Tn (t).
                                            n=1

Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из него двукратным
почленным дифференцированием по x и t, то сумма его будет удовлетворять уравнению
(1) и краевым условиям (2).

                                                7

Страницы