ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
() ()
=
θ+θ= kbkay
kk
sincos
() ()
θ
+
+θ
+
+= k
ba
b
k
ba
a
ba
kk
k
kk
k
kk
sincos
2222
22
. (3.82)
Обозначим:
kkk
Cba =+
22
, (3.83)
k
k
k
a
b
arctg=Φ
. (3.84)
тогда
(
)()
[
]
=θ
+
θ
=
kkCy
kkk
sinФsincosФcos
()
kk
kC Фcos
θ
. (3.85)
Последняя формула является уравнением волны, называемой k-й гармоникой с амплитудой C
k
и фазой
k
Φ
. Период
этой волны составляет
k
π2
, так как здесь мы имеем
()()
kkk
kk
k
k ФcosФ2cosФ
2
cos −θ=−π+θ=
−
π
+θ
. (3.86)
Для k = 1, 2, 3, … графики функции (3.78) носят названия, соответственно, основной волны, второй, третий и т.д.
гармоники.
Таким образом, тригонометрический ряд можно записать в виде
()
(
)
+
−
θ
+
−θ+=
2211
Ф2cosФcos CCyy
m
(
)
...Фcos... +
−
θ
+
nn
nC .
(3.87)
Если для периодической функции значения y известны при различных значениях х, то эмпирическая формула,
удовлетворяющая экспериментальным данным, может быть найдена путем вычисления y
m
, амплитуд и фаз основной и
последующих гармоник C
1
, Ф
1
, C
2
, Ф
2
, …, C
n
, Ф
n
.
Переменная х может выражать не только значения угла, но и значения любых других величин. Наиболее часто эта
переменная в периодической функции обозначает время.
Для того чтобы выразить значения угла через переменную х, необходимо определить период функции, т.е.
p
x∆
.
Имеем
mx
=
θ
. (3.88)
Выразим θ в градусах, тогда
p
x
m
∆
=
360
, (3.89)
или в радианах
p
x
m
∆
π
=
2
. (3.90)
Разделим х на n равных промежутков для всего периода и обозначим ординаты кривой через y
0
, y
1
, y
2
, …, y
n
, …,
соответственно точкам x
0
, x
1
,
x
2
, …, x
n
. Тогда y
m
будет выражать среднее значение n ординат, а a
k
и b
k
– удвоенные средние значения произведений,
образующихся при умножении каждой ординаты на
(
)
θ
kcos или
(
)
θ
ksin :
()
110
...
11
−
+++==
∑
nm
yyy
n
y
n
y , (3.91)
[]
=θ=
∑
)cos(
2
ky
n
a
k
[]
)cos(...)cos()cos(
2
111100 −−
θ++θ+θ
nn
kykyky
n
,
(3.92)
[]
=θ=
∑
)sin(
2
ky
n
b
k
[]
)sin(...)sin()sin(
2
111100 −−
θ++θ+θ
nn
kykyky
n
. (3.93)
