Основы инженерных исследований в экологии. Козачек А.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0
1
2
3
4
5
6
7
0,5
2
3
4
5
5,75
6,5
7,5
8,5
9,5
1
1
Рис. 3.14. Пример графика функции
)()( XxnxXn
ee
bxay
−−
+
α
++=
3.5. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
Пусть функция y = f (x) задана таблицей. Часто оказывается необходимым вычислить значение функции y при значении
х
′, не помещенном в этой таблице. Эта задача называется интерполированием.
Интерполирование табличных значений, разность между которыми мала, производится, обычно, с помощью пропорций,
как, например, при вычислении логарифмов.
Если же табличные разницы значительны и быстро изменяются, то интерполирование можно осуществить путем
нахождения приближенного аналитического представления данной функции.
Рассмотрим интерполяционную формулу Лагранжа. Пусть при х = а
1
, а
2
, …, а
n
функция принимает, соответственно,
значения y
1
, y
2
, …, y
n
. Лагранж нашел выражение для многочлена степени (n – 1), который принимает те же значения при х =
а
1
, а
2
, …, а
n
, что и заданная функция.
Этот многочлен имеет следующий вид
+
−−−
−
−
−
=
)(...)()(
)(...)()(
13121
32
1
n
n
aaaaaa
axaxax
yy
++
−−−
−
−
−
+ ...
)(...)()(
)(...)()(
23212
31
2
n
n
aaaaaa
axaxax
y
)(...)()(
)(...)()(
121
121
−
−
−−−
−
−
−
+
nnnn
n
n
aaaaaa
axaxax
y
. (3.71)
Для упрощения расчетов по этой формуле рекомендуется следующий прием вычислений.
1. Заполняется таблица (табл. 3.1). Левая часть таблицы позволяет находить числители, а правая – знаменатели
отдельных членов формулы Лагранжа.
3.1. Члены формулы Лагранжа
Числитель
Знаменатель
а
1
а
2
а
3
а
4
а
1
а
2
а
3
а
4
+ –
у
1
х – а
2
х – а
3
х – а
4
а
1
а
1
– а
2
а
1
– а
3
а
1
– а
4
у
2
х – а
1
х – а
3
х – а
4
а
2
а
2
– а
1
а
2
– а
3
а
2
– а
4
у
3
х – а
1
х – а
2
х – а
4
а
3
а
3
– а
1
а
3
– а
2
а
3
– а
4
у
4
х – а
1
х – а
2
х – а
3
а
4
а
4
– а
1
а
4
– а
2
а
4
– а
3
2. Для нахождения коэффициента при у
1
в формуле Лагранжа нужно произведение выражений, помещенных в ячейки
строки "y
1
" левой части таблицы, разделить на произведение чисел, находящихся в строке "a
1
" правой части таблицы.
Аналогично находятся и все остальные коэффициенты.

Страницы